1, Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}\) = \(\dfrac{a-b+c}{a-b-c}\) trong đó b \(\ne\) 0. Chứng minh rằng c=0
Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}=\dfrac{a-b+c}{a-b-c}\) trong đó \(b\ne0\) . Chứng minh rằng \(c=0\)
a+b-c/a+b-c + 2c/a+b-c = a-b-c/a-b-c + 2c/a-b-c
suy ra 2c/a+b-c = 2c/a-b-c
Dấu = xảy ra khi c=0
\(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}=\dfrac{a-b+c}{a-b-c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a-b-c\right)=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-\left(b+c\right)^2=a^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-\left(b-c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-b+c\right)\left(b+c+b-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4bc=0\)
Do b\(\ne\) 0\(\Rightarrow c=0\)
Vậy c=0 thì thỏa tỉ lệ thức (đcpcm)
Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}\) = \(\dfrac{a-b+c}{a-b-c}\) với b≠0
Chứng minh rằng: c=0
Ta có: \(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}=\dfrac{a-b+c}{a-b-c}\)
\(\Leftrightarrow a^2-\left(b+c\right)^2=a^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-\left(b-c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow-4bc=0\)
hay c=0
cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)(b\(\ne\)0;d\(\ne\)0)
a) \(\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}\)
b)\(\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c+d}{d}\)
a: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{c}{d}-1\)
hay \(\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}\)
Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}=\dfrac{a-b+c}{a-b-c}\). Chứng minh rằng c = 0 hoặc b = 0
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}=\dfrac{a-b+c}{a-b-c}=\dfrac{a+b+c-a+b-c}{a+b-c-a+b+c}=\dfrac{2b}{2b}=1\)\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{a+b-c}=1\)
\(\Rightarrow a+b+c=a+b-c\)
\(\Rightarrow a+b+c-a-b+c=0\)
\(\Rightarrow2c=0\)
\(\Rightarrow c=0\) (đpcm)
Chứng minh từ tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) thì ta suy ra được các tỉ lệ thức sau:
a) \(\dfrac{a-b}{a+b}\) \(=\dfrac{c-d}{c+d}\) ( với a+b \(\ne\)0 và c+d \(\ne\)0)
Ta có : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
=> a = b.k ; c = d.k
Ta lại có : \(\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{b.k-b}{b.k+b}=\dfrac{b.\left(k-1\right)}{b.\left(k+1\right)}=\dfrac{k-1}{k+1}\)
\(\dfrac{c-d}{c+d}=\dfrac{d.k-d}{d.k+d}=\dfrac{d.\left(k-1\right)}{d.\left(k+1\right)}=\dfrac{k-1}{k+1}\)
Vì \(\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{k-1}{k+1}\) ; \(\dfrac{c-d}{c+d}=\dfrac{k-1}{k+1}\) nên \(\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{c-d}{c+d}\)
Vậy \(\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{c-d}{c+d}\)
Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) ( với b + d \(\ne\) 0) ta suy ra được \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)
Suy ra: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{bk}{b}=k\left(1\right)\)
\(Và:\) \(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{bk+dk}{b+d}=\dfrac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}\) \(\left(ĐPCM\right)\)
Ta có : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
Áp dụng t/c' dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\left(đpcm\right)\)
Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)
bằng 3 các(giả thiết a khác b;c khác d và mỗi số a,b,c,d khác 0)
Cách 1:
Ta xét tích a(c-d) và c(a-b)
Ta có: a(c-d)=ac-ad (1)
c(a-b)=ac-bc(2)
Ta lại có \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{d}\)=>ad=bc (3)
Từ (1), (2), (3) ta có a(c-d)=c(a-d). Do đó \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)
Cách 2:
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)=k thì a=bk, c=dk.
Xét \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{bk}{bk-b}=\dfrac{bk}{b\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\left(1\right)\)
Xét \(\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{dk}{dk-d}=\dfrac{dk}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)=> \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)
Cách 3: Ta có
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=>\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Aps dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=>\dfrac{a-b}{c-d}\)
=>\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{a-b}{c-d}=>\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)
Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}-1=\dfrac{d}{c}-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{d-c}{c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{c-d}{c}\)
hay \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)(đpcm)
Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{\overline{ab}}{\overline{bc}}\) = \(\dfrac{b}{c}\) (c\(\ne\) 0). Chứng minh rằng \(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\) = \(\dfrac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{10a+b}{10b+c}=\dfrac{b}{c}\)
=>10ac+bc=10b^2+cb
=>10ac=10b^2
=>ac=b^2
=>a/b=b/c=k
=>a=bk; b=ck
=>a=ck*k=k^2*c
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{k^2c}{c}=k^2\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{b^2k^2+b^2}{c^2k^2+c^2}=\dfrac{b^2}{c^2}=\dfrac{c^2k^2}{c^2}=k^2\)
=>ĐPCM
Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{\overline{ab}}{a+b}\) = \(\dfrac{\overline{bc}}{b+c}\) . Chứng minh rằng: b\(^2\) = a.c (c\(\ne\) 0)
\(\Leftrightarrow\dfrac{10a+b}{a+b}=\dfrac{10b+c}{b+c}\)
=>10ac+bc=10b^2+cb
=>10ac=10b^2
=>ac=b^2