Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2=x-2m+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+2m-1=0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(x^2-x+2m-1=0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta=1-8m+4=5-8m>0\)

\(\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{8}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-x+2m-1=0\)

\(\text{Δ}=1^2-4\cdot1\cdot\left(2m-1\right)\)

\(=1-8m+4\)

\(=-8m+5\)

Để \(\left(P\right),\left(d'\right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì -8m+5>0

hay \(m< \dfrac{5}{8}\) 

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-2mx-(2m+1)=0(*)$

Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

$\Leftrightarrow \Delta'=m^2+2m+1>0\Leftrightarrow (m+1)^2>0$

$\Leftrightarrow m\neq -1$
Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=2m; x_1x_2=-(2m+1)$

Khi đó:

$\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{3+x_1x_2}=2m+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2m}+\sqrt{3-2m-1}=2m+1$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq m< 1\\ \sqrt{2m}+\sqrt{2(1-m)}=2m+1\end{matrix}\right.\)

Bình phương 2 vế dễ dàng giải ra $m=\frac{1}{2}$ (thỏa)

a, Xét hoành độ giao điểm của P và d ta có:

x² = 3x + m² - 2 

\(\Delta=b^2-4ac=4m^2+1>0\) ∀x 

=> d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 

\(x^2=3x-m+4\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+m-4=0\)

a=1; b=-3; c=m-4

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=9-4m+16=-4m+25\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai nghiệm phân biệt

hay Δ>0

\(\Leftrightarrow-4m+25>0\)

\(\Leftrightarrow-4m>-25\)

hay \(m< \dfrac{25}{4}\)

Khi \(m< \dfrac{25}{4}\), Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1\cdot x_2=m-4\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2+3x_2-4x_1x_2=5\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)-4x_1x_2=5\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_1\cdot x_2+x_2^2-4x_1x_2=5\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=5\)

\(\Leftrightarrow3^2-5\left(m-4\right)=5\)

\(\Leftrightarrow9-5m+20-5=0\)

\(\Leftrightarrow-5m=-24\)

hay \(m=\dfrac{24}{5}\)(thỏa ĐK)

Vậy: \(m=\dfrac{24}{5}\)

Phương trình hoành độ giao điểm:  x 2 − 2 x − 2 = x + m ⇔ x 2 − 3 x − 2 − m = 0

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ Δ > 0 ⇔ 17 + 4 m > 0 ⇔ m > − 17 4

Giả sử (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 thì x 1 + x 2 = − b a = 3 x 1 . x 2 = c a = − m − 2

= 18 − 4 ( − 2 − m ) + 6 m + 2 m 2 = 2 m 2 + 10 m + 26 = 2 m + 5 2 2 + 27 2 ≥ 27 2 với m > − 17 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của O A 2 + O B 2 là 27 2  khi m = − 5 2

Đáp án cần chọn là: A

1, Do hàm số trên cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 hay hàm số trên đi qua A(3;0) 

<=> \(0=6+b\Leftrightarrow b=-6\)

2, Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2-\left(m-1\right)x-m+4=0\)

Để (P) cắt (d) tại 2 điểm pb nằm về 2 phía trục tung khi pt có 2 nghiệm trái dấu hay 

\(x_1x_2=-m+4< 0\Leftrightarrow-m< -4\Leftrightarrow m>4\)

Đáp án đúng : B