Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HE, HF lần lượt là các đường cao của tam giác AHB, AHC.
a)chứng tỏ:BC2 = 3AH2+BE2+CF2
b)giả sử BC=2a là độ dài cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của BE2+CF2
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HE, HF lần lượt là các đường cao của tam giác AHB, AHC.
a)chứng tỏ:BC2 = 3AH2+BE2+CF2
b)giả sử BC=2a là độ dài cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của BE2+CF2
Hình thì e tự vẽ nha
a) Dễ dàng c/m đc AEHF là hcn => AH = EF
Áp dụng hệ thức lượng ta có
\(BC^2=\left(BH+CH\right)^2=BH^2+CH^2+2AH.BH\)
\(=BE^2+HE^2+CF^2+HF^2+2AH^2=BE^2+CF^2+2AH^2+\left(HE^2+HF^2\right)\)
\(=BE^2+CF^2+2AH^2+EF^2=BE^2+CF^2+2AH^2+AH^2\)
\(=BE^2+CF^2+3AH^2\)
b) \(\Delta ABH\) có \(BE=\frac{BH^2}{AB}\) \(\Rightarrow BE^2=\frac{BH^4}{AB^2}\)
Tương tự \(CF^2=\frac{CH^4}{AC^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Do đó \(BE^2+CF^2=\frac{BH^4}{AB^2}+\frac{CH^4}{AC^2}\ge\frac{\left(BH^2+CH^2\right)^2}{AB^2+AC^2}\ge\frac{\left[\frac{\left(BH+CH\right)^2}{2}\right]^2}{BC^2}=\frac{\left[\frac{BC^2}{2}\right]^2}{BC^2}\)
\(=\frac{\frac{BC^4}{4}}{BC^2}=\frac{BC^2}{4}=\frac{\left(2a\right)^2}{4}=a^2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow BH=CH\) hay H là trung điểm BC.
Như vậy AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
=> Tam giác ABC vuông cân tại A.
p/s: làm lụi thôi nha, ko bt đúng ko nữa. Đúng thì cho mk 1 k nha
Cho tam giác ABC vuông tại A, BC =2a, đường cao Ah. Gọi HE, HF lần lượt là đường cao của các tam giác AHB, AHC
a) CMR: BC.BE.CF= và (mình làm đc rồi)
b) Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng EF, diện tích tứ giác AEHF
Tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a, đường cao AH. Gọi HE, HF lần lượt là đường cao của các tam giác AHB, AHC.
a) CMR BC.BE.CF = AH^3 và AB^3 : AC^3 = EB : FC
b) Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng EF, diện tích tứ giác AEHF
a, áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông AHB,AHC, ABC có các đường cao ta có:\(BE=\frac{BH^2}{AB};CF=\frac{HC^2}{AC};BE.CF=\frac{BH^2.HC^2}{AB.AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}\); \(BC=\frac{AB^2}{AH}\)
\(BC.CE.CF=\frac{AB^2}{AH}.\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^3.AB}{AC}=AH^3.\frac{AB}{AC}\).
tam giác này người ta k cho cân => AB/AC không =1 đc => BC.BE.CF khác AH^3
\(EB=\frac{BH^2}{AB};FC=\frac{HC^2}{AC}\Rightarrow\frac{EB}{FC}=\frac{BH^2.AC}{AB.HC^2}\). VỚI TAM GIÁC ABC TA CÓ: \(BH=\frac{AB^2}{BC}\Rightarrow BH^2=\frac{AB^4}{BC}\Leftrightarrow HC^2=\frac{AC^4}{BC}\) => \(\frac{EB}{FC}=\frac{\frac{AB^4}{BC}.AC}{AB.\frac{AC^4}{BC}}=\frac{AB^4.AC.BC}{AB.AC^4.BC}=\frac{AB^3}{AC^3}\)
B) C/M TỨ GIÁC AEHF LÀ HÌNH CHỮ NHẬT => EF=AH(T/C) => EF LỚN NHẤT <=> AH LỚN NHẤT
TỪ A KẺ TRUNG TUYẾN AM. \(AH\le AM\) (ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN) => AH LỚN NHẤT KHI AH=AM <=> AH=1/2 BC=1/2a<=> EF LỚN NHẤT =1/2a (AM LÀ TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC VUÔNG => = 1/2 CẠNH HUYỀN)
TỪ CÁC CÔNG THỨC ĐÃ LẬP Ở TRÊN, S AEHF=AE.AF=\(\frac{AH^2}{AB}.\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^4}{\sqrt{BH.BC.HC.BC}}=\frac{AH^4}{BC\sqrt{AH^2}}=\frac{AH^3}{BC}\)
CHỈ LÀM ĐC ĐẾN ĐÂY THÔI :-/ DÙ SAO CŨNG ĐC ÍT NHIỀU :)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi HE và HF lần lượt là các đường cao của tam giác AHB và AHC. Chứng minh:
a) \(BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2\).
b) Giả sử BC = 2a là độ dài cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(BE^2+CF^2\).
cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. gọi E,F lần lượt là hình chiếu H trên AB,AC.Chứng minh:
a, FB trên FC =AB3 trên AC3
b,BC2= 3AH2 + BE2 +CF2
c,BE. căn CH +CF. căn BH = AH. căn BC
a) đề phải là \(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)
Ta có: \(\dfrac{EB}{FC}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE.BA}{AC.CF}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\left(\dfrac{BH}{CH}\right)^2=\left(\dfrac{BH.BC}{CH.BC}\right)^2\)
\(=\left(\dfrac{AB^2}{AC^2}\right)^2=\dfrac{AB^4}{AC^4}\Rightarrow\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)
b) Vì \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow AH^2=EF^2=EH^2+HF^2\)
Ta có: \(3AH^2+BE^2+CF^2=\left(BE^2+EH^2\right)+\left(CF^2+FH^2\right)+2AH^2\)
\(=BH^2+CH^2+2.BH.CH=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH vuông góc với BC . Cạnh HE , HF là đường cao của tam giác AHB và tam giác AHC
a) Chứng minh BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2
b) Cho BC = 2a cố định . Tìm GTNN của BE2 + CF2
c) Chứng minh BE2 =\(\frac{BH^3}{BC}\)
2. Cho tam giác ABC , có AH vuông góc với BC . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của H trên AB , AC . Biết AH = x , BC = 2a
a) Chứng minh AH3 = BC . BE . CF = BC . HE . HF
b) Tính diện tích tam giác AEF theo a và x . Tìm x để diện tích tam giác AEF đạt GTLN
a, bc^2 = ab^2 +ac^2
<=.> (ae+eb)^2 +(af+fc)^2
<=.>AE^2 +2 AE.EB +EB^2 +AF^2+FC^2+2AF,FC
<=> EF^2 +EB^2 +CF^2 +2.(EH^2+FH^2)
<=>EB^2 +CF^2 + AH ^2 + 2 AH^2 vì tứ giác EHAF là hcn suy ra AH =EF
<=>EB^2 +CF^2+3 AH^2 (đpcm)
b, cb =2a là thế nào vậy
câu a sai vì EHFA không phải hcn , phần trên cũng sai
Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a > 0 và một điểm A di động sao cho góc BAC = \(90^o\). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi HE và HF lần lượt là đường cao của tam giác ABH và tam giác ACH.
1. Chứng minh rằng: \(BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2\)
2. Tìm điều kiện cùa tam giác ABC để tổng \(BE^2+CF^2\) đạt giá trị nhỏ nhất
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HD, HE lần lượt là đường cao của tam giác AHB và tam giác AHC. Chứng minh rằng:
a,\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB}{HC}\)
b,\(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BD}{EC}\)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{HB}{HC}\)(đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(BD\cdot BA=BH^2\)
\(\Leftrightarrow BD=\dfrac{HB^2}{AB}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(CE\cdot CA=CH^2\)
\(\Leftrightarrow EC=\dfrac{HC^2}{AC}\)
Ta có: \(\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}:\dfrac{HC^2}{AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{HC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{HB}{HC}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^4\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)
Cho đoạn BC có độ dài cố định 2a với a>0 và 1 điểm A di động sao cho góc BAC = 90 độ .Kẻ AH vuông góc với BC tại H,Gọi HE và HF lần lượt là đường cao của tam giác ABH và tam giác ACH. Đặt AH =x
Câu hỏi của Nguyễn Tấn Phát - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo!