ko xài pc dc k ?

Câu hỏi của Trần Hà My - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo link này nhé!

Cho 4 số a,b,c,d khác 0 thỏa mãn abcd=1 và a+b+c+d=1/a+1/b+1/c+/1d. chứng minh rằng tồn tại tích hai số trong 4 số bằng 

Giả sử tồn tại hai số a,b sao cho \(a^3+b^3=2\) và \(a+b>2\)

Khi đó, đặt \(a=x+y\) , \(b=x-y\) 

Ta có \(a+b=x+y+x-y=2x>2\Rightarrow x>1\)

\(a^3+b^3=\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3=2x^3+6xy^2\)

Do x > 1 nên \(2x^3>2;6xy^2\ge0\). Suy ra \(a^3+b^3>2\) , trái với giả thiết đề bài.

Vậy ta có đpcm

Giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ thì \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\left[\left(a,b\right)=1\right]\)

\(\Rightarrow a^2=2b^2\)(1)\(\Rightarrow a^2⋮2\)

Mà 2 là số nguyên tố nên \(a⋮2\)

Đặt a = 2k.Thay vào (1), ta được: \(4k^2=2b^2\Rightarrow2k^2=b^2\)

\(\Rightarrow b^22⋮\).Mà 2 là số nguyên tố nên \(b⋮2\)

Vậy a và b cùng chia hết cho 2, trái với (a,b) =1

Vậy \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ hay \(\sqrt{2}+3\)là số vô tỉ (đpcm)

Vì 3 là số hữu tỉ rồi nên phải cần c/m √2 là số vô tỉ là đc!

Giả sử √2 là số hữu tỉ 
=> √2 = a/b với a, b nguyên và a/b tối giản hay (a ; b) = 1 (1) 
√2 = a/b 
<=> 2 = a²/b² 
<=> b² = a²/2 
=> a² chia hết cho 2 
=> a chia hết cho 2 (vì 2 là số nguyên tố) (2) 
=> a = 2k. Thay vào : 
2 = a²/b² 
<=> 2 = (2k)²/b² 
<=> b² = 2k² 
=> b² chia hết cho 2 
=> b chia hết cho 2 (3) 
Từ (2) và (3) => ƯC (a ; b) = 2 
=> Mâu thuẫn (1) 
=> Điều giả sử là sai 
=> √2 là số vô tỉ (đpcm)

cảm ơn các bạn nhìu nha

Giả sử a+b>2

=>\(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)>\left(a+b\right)^3=2^3=8\)

=>\(2+3ab\left(a+b\right)>8\)

=>\(3ab\left(a+b\right)>6\)

=>\(ab\left(a+b\right)>2\)

=>\(ab\left(a+b\right)>a^3+b^3\)

=>\(0>a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\)

=>\(0>\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\)

=>\(0>\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\)

=>\(0>\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\) 

Vì a+b>2 (điều đã giả sử) và (a-b)²\(\ge0\) <=>\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

=>\(0>\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\) là vô lý 

=>\(a+b\le2\)

Anh làm cách cosi

\(VT^2=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(b^2+a^2+c^2\right)\)

Ta có \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\)

       \(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2c^2\)=>     \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)

         \(\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\ge2c^2\)

=> \(VT^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)

=> \(VT\ge3\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c1

xD

Có: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge3\)(1)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3-3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}\ge0\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}ab=x\\bc=y\\ac=z\end{cases}\left(x,y,z>0\right)}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{\left(abc\right)^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]}{\left(abc\right)^2}\ge0\)(đúng)

Vậy ........... dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z hay a=b=c=1

Trả lời

         ADBĐT Cosy

\(VT^2=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

          Ta có

                        \(\frac{a^2b^2}{c}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\)

                       \(\frac{b^2c^2}{a^2}\)\(+\frac{a^2b^2}{c^2}\)\(\ge2c^2\)

                         \(\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\ge2a^2\)

=>\(VT^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow VT^2\ge9=>VT\ge3\)

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = 1 .

\(\frac{a^2b^2}{c}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\)

 Cách khác (theo cách lớp 7):

Xét tam giác ABC vuông tại A,trung tuyến AD.Ta cần chứng minh: \(AD=\frac{1}{2}BC\)

Ta chứng minh ngược lại,tức là \(AD\ne\frac{1}{2}BC\)

+ Nếu \(AD>\frac{1}{2}BC\Rightarrow\widehat{B}>\widehat{A_2},AD>CD\Leftrightarrow\widehat{C}>\widehat{A}\) (Đ.lí về cạnh đối diện với góc trong tam giác)

Hay \(\widehat{B}+\widehat{C}>\widehat{A_2}+\widehat{A_1}=90^o>\widehat{A}\) (mâu thuẫn với giả thiết)

+ Chứng minh tương tự với \(AD< \frac{1}{2}BC\) được: \(\widehat{B}+\widehat{C}< \widehat{A_2}+\widehat{A_1}\Leftrightarrow90^o< \widehat{A}\) (mâu thuẫn)

Vậy ta luôn có: \(AD=\frac{1}{2}BC\) (đpcm)

Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Tham khảo thêm: Câu hỏi của Nguyễn Huỳnh Minh Thư - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath