* Gọi ∠ A 1 ,  ∠ C 1 là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C,  ∠ A 2 ,  ∠ C 2 là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có:  ∠ A 1 +  ∠ A 2  = 180 0  (2 góc kề bù)

⇒  ∠ A 2 =  180 0  -  ∠ A 1

∠ C 1 +  ∠ C 2 =  180 0  (2 góc kề bù) ⇒  ∠ C 2 =  180 0  -  ∠ C 1

Suy ra:  ∠ A 2 +  ∠ C 2 =  180 0  -  ∠ A 1 + 180o -  ∠ C 1 =  360 0  – ( ∠ A 1  +  ∠ C 1 ) (1)

* Trong tứ giác ABCD ta có:

∠ A 1 +  ∠ B +  ∠ C 1  + ∠ D =  360 0  (tổng các góc của tứ giác)

⇒  ∠ B +  ∠ D =  360 0  - ( ∠ A 1  +  ∠ C 1 ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  ∠ A 2 +  ∠ C 2  =  ∠ B +  ∠ D

gọi các góc trong của đỉnh A và C là ^A₁ và ^C₁

còn các góc ngoài của đỉnh A và C là ^A₂ và ^C₂

ta có ^A1 + ^A2 =180^o ( 2 góc kè bù )

và ^C1 +^C2 =180^o (2 góc kề bù )

=> ^A2 =180^o -^A1

và ^C2 =180^o -^C2

=> ^A2+^C2 = 360^o -^A1-^C1(1)

ta lại có ^A1+^B+^C1+^D =360^o (tổng 4 góc tứ giác )

=> ^B+^D = 360^o - ^A1-^C1(2)

từ (1) và(2) => ^B+^D = ^A2 +^C2 (cùng = 360⁰ -^a1 -^C1)

vậy.............

Gọi \(\widehat{A_1},\widehat{C_1}\) là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C. \(\widehat{A_1}=\widehat{C}_1\) là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có: \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^0\) (2 góc kề bù)

\(\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=180^0\)(2 góc kề bù)

Suy ra:

\(\widehat{A_2}+\widehat{C_2}=180^0-\widehat{A_1}+180^0-\widehat{C_1}\)

\(=360^0-\left(\widehat{A_1}+\widehat{C_1}\right)\) (1)

Trong tứ giác ABCD ta có:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C_1}+\widehat{D}=360^0\) (tổng các góc của tứ giác)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{A_1}+\widehat{C_1}=\widehat{B}+\widehat{D}\)

Xét tứ giác ABCD có:

\(\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_1}+\widehat{D_1}=360^0\left(...\right)\)

Mà \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^0\left(KB\right),\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=180^0\left(KB\right)\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=360^0\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{C_2}=\widehat{B_2}+\widehat{D_1}\)

Vậy ...

Ta có : B+D+BAD+BCD=360^o

mà BAD + DAE=180^o(DAE goc ngoài)

BCD + BCF=180^o(BCF góc ngoài)

nên BAD + DAE+BCD+BCF=360^o=B+D+BAD+BCD

nên DAE+BCF=B+D(ĐPCM)