a) (AC ⊥ SH & AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (SBD) ⇒ AC ⊥ SD.

b) (MN//AC & AC ⊥ (SBD) ⇒ MN ⊥ (SBD).

c) + Xác định góc α giữa (SBC) và (ABCD)

Gọi I là trung điểm của BC, ta có:

(BC ⊥ IH & BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SIH)

⇒ BC ⊥ SI.

⇒ [((SBC),(ABCD)) ] = ∠(SIH) = α.

+ Tính α:

Trong tam giác SIH, ta có: cosα = IH/IS = √3/3 ⇒ α = arccos√3/3.

Ta có {BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE{BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE

Khi đó {CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB){CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2, tương tự SDSE=SC2SA2SDSE=SC2SA2

Lại cả CA=AC√2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3CA=AC2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3

Khi đó VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13

Do đó VS.CDE=13.23a3=2a39VS.CDE=13.23a3=2a39.

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp (SAD)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp (SDC)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp (ABCD)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp (ABCD)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $(ABCD)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $(ABC)$ là \alpha = \widehat{MNH}α=MNH.

Xét tam giác vuông $MNH$ có \cos \alpha = \dfrac{HN}{MN} = \dfrac{HN}{\sqrt{HN^2 + MH^2}} = \dfrac{\sqrt6}{3}cosα=MNHN​=HN2+MH2​HN​=36​​.

Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

\(SD\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SD\perp AB\) , mà \(AB\perp SA\left(gt\right)\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AD\)

\(\Rightarrow AD||BC\)

Tương tự ta có: \(BC\perp\left(SCD\right)\Rightarrow BC\perp CD\Rightarrow CD||AB\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABCD là hình vuông

\(\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\)

\(SD=\sqrt{SB^2-BD^2}=a\sqrt{2}\)

Gọi P là trung điểm AD \(\Rightarrow MP\) là đường trung bình tam giác SAD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP=\dfrac{1}{2}SD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\\MP||SD\Rightarrow MP\perp\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\alpha=\widehat{MNP}\)

\(cos\alpha=\dfrac{NP}{MN}=\dfrac{NP}{\sqrt{NP^2+MP^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)

a.

Do M là trung điểm SC, N là trung điểm SA \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SAC

\(\Rightarrow MN||AC\)

Mà \(AC\in\left(ABCD\right)\Rightarrow MN||\left(ABCD\right)\)

Gọi O là giao điểm AC và BD \(\Rightarrow O=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

\(S=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\Rightarrow SO=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

b.

Trong mp (ABCD), kéo dài AB và CD cắt nhau tại E

Trong mp (SCD), nối EM cắt SD tại F

\(\Rightarrow F=SD\cap\left(MAB\right)\)

a) Gọi \(O\) là tâm của đáy

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AB\)

\(I\) là trung điểm của \(AB\)

\(J\) là trung điểm của \(C{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow IJ\) là đường trung bình của hình vuông \(ABCD\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow IJ\parallel A{\rm{D}}\\AB \bot A{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow IJ \bot AB\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}SO \bot AB\\IJ \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SIJ} \right)\)

b) Kẻ \(IH \bot SJ\left( {H \in SJ} \right),OK \bot SJ\left( {K \in SJ} \right) \Rightarrow IH\parallel OK\)

\(O\) là trung điểm của \(IJ \Rightarrow IH = 2{\rm{O}}K\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AB\parallel C{\rm{D}}\\C{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AB \bot \left( {SIJ} \right)\\C{\rm{D}}\parallel AB\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SIJ} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot IH\\ & IH \bot SJ\end{array} \right\} \Rightarrow IH \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = d\left( {AB,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = IH\end{array}\)

\(O\) là trung điểm của \(IJ\), \(IH\parallel {\rm{O}}K\)\( \Rightarrow IH = 2{\rm{O}}K\)

\(O\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\)

\(J\) là trung điểm của \(C{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow OJ\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\)

\( \Rightarrow OJ = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Delta SAO\) vuông tại \(O\)\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\(\Delta SOJ\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OK\)

\( \Rightarrow OK = \frac{{SO.OJ}}{{\sqrt {S{O^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\)

\( \Rightarrow d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = IH = 2OK = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\)

1: BD vuông góc AC

BD vuông góc SA

=>BD vuông góc (SAC)

=>(SAC) vuông góc (SBD)