Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho :
\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{BN}{BD}=k,\left(k>0\right)\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho
A M A C = B N B D = k ( k > 0 )
Chứng minh rằng ba vectơ P Q → , P M → , P N → đồng phẳng.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho A M A B = A N A C ; gọi I và J lần lượt là trung điểm của BD, CD. Chứng minh rằng: BC // (MNI)
Ta có:
suy ra MN // BC (1) (Định lý Ta-lét đảo).
- Lại có: MN ∩ (MNI) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: BC // (MNI)
Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (DBC) và (DMN) ?
Cho tứ diện ABCD. Gọi M,K lần lượt là trung điểm của BC và AC. N là điểm trên cạnh BD sao cho BN=2ND. Gọi F là giao điểm của AD và mp(MNK). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. AF=3FD
B. AF=2FD
C. AF=FD
D. FD=2AF
Đáp án B
Xét (MNK) và (ABD) có:
N là điểm chung
AB // MK ⇒ A B ⫽ M N K
⇒ Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng d đi qua N và song song AB
d cắt AB tại điểm F cần tìm
Vì FN // AB ( cách dựng)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho A M A B = A N A C ; gọi I và J lần lượt là trung điểm của BD, CD. Tứ giác MNJI là hình gì. Tìm điều kiện để tứ giác MNJI là hình bình hành.
+) Vì I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD. Từ đó suy ra: IJ // BC (3) .
- Từ (1) và (3) suy ra: MN // IJ .
→ Vậy tứ giác MNJI là hình thang.
+) Để MNJI là hình bình hành thì: MI// NJ.
- Lại có ba mặt phẳng (MNJI); (ABD); (ACD) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MI, NJ, AD nên theo định lý 1 ta có: MI // AD // NJ (4)
- Mà I; J lần lượt là trung điểm BD,CD (5)
- Từ (4)và (5) suy ra: M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
⇒ Vậy điều kiện để hình thang MNJI trở thành hình bình hành là M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Trên cạnh AC lấy điểm K. Gọi M là giao điểm của BK và AI, N là giao điểm của DK và AJ. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng BD.
Giả sử K là trung điểm của AC
Suy ra M,N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ACD
Do đó, tam giác KBC có:\(\frac{{KM}}{{KB}} = \frac{{KN}}{{KD}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra MN // BD
Chứng minh tương tự với trường hợp K bất kỳ
Ta sẽ áp dụng Menelaus cho 2 tam giác BCD và ABC
À quên cái dạo đầu :v
Vì lười chụp hình nên đánh máy vậy
Tìm giao điểm giữa CD và (MNQ) trước
Gán CD vô (BCD) => giao tuyến giữa (BDC) và (MNQ) là QK (K là giao điểm của MN với BC)
=> QK cắt CD tại P => (MNQ) cắt CD tại P
Rồi giờ áp dụng Menelaus cho tam giác ABC trước
\(\dfrac{AM}{MB}.\dfrac{BK}{KC}.\dfrac{CN}{NA}=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.\dfrac{BK}{KC}.1=1\Rightarrow BK=2KC\)
Áp dụng Menelaus cho tam giác BCD
\(\dfrac{BK}{KC}.\dfrac{CP}{PD}.\dfrac{DQ}{QB}=1\Leftrightarrow2.\dfrac{CP}{PD}.1=1\Rightarrow CP=\dfrac{1}{2}PD\)
\(\Rightarrow\dfrac{CP}{CD}=\dfrac{1}{3}\)
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng: AB → - C D → = A C → B D → = 2 P Q →
Ta có:
Do đó:
Mặt khác:
Nên
Vì
Từ (3) và (4) ta suy ra
là đẳng thức cần chứng minh.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AC và BD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. hai đường thẳng RA và PQ cắt nhau
B. hai đường thẳng NR và PQ song song với nhau
C. hai đường thẳng MN và PQ song song với nhau
D. hai đường thẳng RA và MP chéo nhau