Những câu hỏi liên quan
Cho a , b , c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\)
18 tháng 1 2021 lúc 10:44
chứng minh \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\) với mọi a,b,c >0
Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)
\(=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{2c}{\sqrt{2c\left(a+b\right)}}\)
\(\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b+2c}=\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+2c\right)}\ge0\)
(đúng hiển nhiên)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
Đúng 0
Bình luận (2)
Cho các số dương a,b,c .Chứng minh rằng bất đẳng thức
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b}}\)\(\ge2\)
Đặt: A=a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b)
. B=b/(b+c)+c/(c+d)+d/(d+a)+a/(a+b)
. C=c/(b+c)+d/(c+d)+a/(d+a)+b/(a+b)
Ta có: B+C=4
Áp dụng Cosôsi và BĐT quen thuộc: 1/x+1/y >= 4/(x+y) với x,y dương ta có:
A+B=(a+b)/(b+c)+(b+c)/(c+d)+
+(c+d)/(d+a)+(d+a)/(a+b) >=4
A+C =(a+c).[1/(b+c)+1/(d+a)] +(b+d).[1/(a+b)+1/(c+d)]
>= 4(a+c)/(b+c+d+a) +4(b+d)/(a+b+c+d)=4
Do đó : 2A+B+C >= 8
Mà B+C=4 nên A >= 2
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh a,b,c số thực không âm thỏa ab+bc+ca > 0 \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+1}}+2\sqrt{\dfrac{c}{a+b+c}}\ge2\)
Chứng minh bất đẳng thức cô-si với 3 số a,b,c không âm: \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Áp dụng chứng minh bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân vế theo vế ta được :
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a>0,b>0,c>0. Chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge2\)
*Cách khác
Khá căn bản thôi áp dụng BĐt cosi với 2 số dương
`=>a+(b+c)>=2sqrt{a(b+c)}`
`=>a/(2sqrt{a(b+c)})>=a/(a+b+c)`
`<=>sqrt{a/(b+c)}>=(2a)/(a+b+c)`
CMTT:
`sqrt{b/(c+a)}>=(2b)/(a+b+c)`
`sqrt{c/(a+b)}>=(2c)/(a+b+c)`
`=>sqrt{a/(b+c)}+sqrt{b/(c+a)}+sqrt{c/(a+b)}>=2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=0` vô lý vì `a,b,c>0`
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh bất đẳng thức :
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\) với a,b,c > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh bất đẳng thức
\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\ge\dfrac{3}{2}\)với a ≥ b ≥ c > 0
Ta có: BĐT\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a-\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{2b-\left(b+c\right)}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c-\left(c+a\right)}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-a+a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)+\dfrac{a-c}{2}\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (đúng)
Vậy BĐT luôn đúng với \(a\ge b\ge c>0\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
