a) Áp dụng hệ quả định lý Ta-let ta có:

ΔABC có MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC) ⇒ 

ΔAHC có KN // HC (K ∈ AH, N ∈ AC) ⇒ 

Chứng minh tương tự ta có:

Mà ta có:

b) Ta có:

a) Vì \(AK = KI = IH \Rightarrow AK = \frac{1}{3}AH;AI = \frac{2}{3}AH\).

Vì \(EF//BC \Rightarrow EK//BH;MN//BC \Rightarrow MI//BH\)

Xét tam giác \(ABH\) ta có \(EK//BH\), theo định lí Thales ta có:

\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{1}{3}\)

Xét tam giác \(ABH\) ta có \(MI//BH\), theo định lí Thales ta có:

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{2}{3}\)

Xét tam giác \(ABC\) ta có \(EF//BC\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:

\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{EF}}{{30}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EF = \frac{{30.1}}{3} = 10\)

Xét tam giác \(ABC\) ta có \(MN//BC\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{30}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EF = \frac{{30.2}}{3} = 20\)

Vậy \(EF = 10cm;MN = 20cm\).

b) Đổi \(10,8d{m^2} = 1080c{m^2}\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}AH.30 = 1080\left( {c{m^2}} \right)\)

\( \Rightarrow AH = 1080.2:30 = 72cm\)

Ta có: \(AH \bot BC \Rightarrow AH \bot MN\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Do đó, \(KI \bot MN\)

Mà \(KI = \frac{1}{3}AH \Rightarrow KI = \frac{1}{3}.72 = 24cm\)

Tứ giác \(MNFE\) có \(MN//EF\) (cùng song song với \(BC\)) nên tứ giác \(MNFE\) là hình thang.

Lại có: \(KI \bot MN \Rightarrow KI\)là đường cao của hình thang.

Diện tích hình thang \(MNFE\) là:

\({S_{MNFE}} = \frac{1}{2}\left( {EF + MN} \right).KI = \frac{1}{2}.\left( {10 + 20} \right).24 = 360\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích tứ giác \(MNFE\) là \(360c{m^2}\).

a:

Xét ΔABH có EK//BH

nên EK/BH=AK/AH=1/3

Xét ΔAHB có MI//BH

nên MI/BH=2/3

Xét ΔABC có MN//BC

nên AM/AB=MN/BC

=>MN/30=2/3

=>MN=20(cm)

Xét ΔABC có EF//BC

nên EF/BC=AE/AB=1/3

=>EF=10(cm)

b: S ABC=1/2*AH*BC

=>1/2*AH*30=1080

=>AH=1080/15=72(cm)

KI=1/3*AH=24(cm)

S MNFE=1/2*(EF+MN)*KI=360cm²

Đề thiếu rồi bạn

Các bạn giúp mình câu này nhanh nha 

Theo tính chất đường thẳng song song : 

\(AK=KI=IH\)( gt )

=> AE = EM = MB 

=> AF = FN = NC 

Theo bài ra ta có : \(\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{MB}=\frac{2MB}{MB}=2\)cm 

\(\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{AE}{2AE}=\frac{1}{2}\)cm 

hay \(2EF=BC\)(*) 

Ta có : \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=90\)( gt ) 

\(\Delta AMN\)có EF là đường trung bình ( AE = EM ; AF = FN ) 

Suy ra : EF // MN và EF = 1/2 MN 

Ta có :  \(S_{MNEF}=\frac{\left(EF+MN\right).IK}{2}\)mà \(IK=\frac{1}{3}AH\)

\(=\frac{\left(EF+MN\right).\frac{AH}{3}}{2}=\frac{\left(EF+2EF\right).\frac{AH}{3}}{2}\)

\(=\frac{EF.AH}{2}\)mà \(2EF=BC\)cmt (*)

\(=\frac{\frac{BC}{2}.AH}{2}=\frac{BC.AH}{4}\)

Vậy \(S_{MNEF}=\frac{180}{4}=45\)cm²

bạn ơi sai hình r

Sửa đề: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm....a) tính MN và FE.

Giải:

a) Do \(\hept{\begin{cases}AK=KI=IH\\AK+KI+IH=AH\end{cases}}\Rightarrow AK=KI=IH=\frac{1}{3}AH\)

Có MK // BH; KN // HC. Theo hệ quả của định lí Thales:

\(\frac{MK}{BH}=\frac{AK}{AH}=\frac{KN}{HC}\). Hay: \(\frac{AK}{AH}=\frac{MK}{BH}=\frac{KN}{HC}=\frac{MK+KN}{BH+HC}=\frac{MN}{BC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN=\frac{1}{3}BC=\frac{15}{3}=5\) cm.

*Tính FE:

Có: EI// BH; IF // HC. Theo hệ quả định lí Thales:

\(\frac{AI}{AH}=\frac{EI}{BH}=\frac{IF}{HC}=\frac{EI+IF}{BH+HC}=\frac{EF}{BC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}BC=10cm\)

b) Ta có: \(S_{MNFE}=KI.\frac{MN+EF}{2}=\frac{1}{3}.AH.\frac{10+5}{2}=\frac{1}{3}.AH.\frac{BC}{2}\)

\(=\frac{1}{6}.AH.BC=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{2}.AH.BC\right)=\frac{1}{3}.S_{ABC}=\frac{1}{3}.270=90cm^2\)

Anh kiểm tra lại xem sao? Em mới học nên ko chắc.

đúng rùi đấy

a) Áp dụng hệ quả định lý Ta-let ta có:

ΔABC có MN // BC  \(\left(M\in AB,N\in AC\right)\Rightarrow\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}\)

ΔAHC có KN // HC \(\left(K\in AH , N\in AC\right)\Rightarrow\frac{AK}{AH}=\frac{AN}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}\)

Chứng minh tương tự , ta có :

\(\frac{EF}{BC}=\frac{AI}{AH}\)

Mà ta có :

\(AK=KI=IH\Rightarrow\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}\)

\(=>\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN=\frac{BC}{3}=\frac{15}{3}=5\left(cm\right)\)

và \(\frac{AI}{AH}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow EF=\frac{2}{3}.BC=10\left(cm\right)\)

b) Ta có :

\(S_{AMN}=\frac{1}{2}.MN.AK\)

\(S_{AEF}=\frac{1}{2}.EF.AI\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC\)

\(=>\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{MN.AK}{AH.BC}=\frac{MN}{BC}.\frac{AK}{AH}\)

                          \(=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\)

\(\Rightarrow S_{AMN}=\frac{1}{9}.S_{ABC}\)

\(=>\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{EF.AI}{AH.BC}=\frac{EF}{BC}.\frac{AI}{AH}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)

\(\Rightarrow S_{AEF}=\frac{4}{9}.S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{MNFE}=S_{AEF}-S_{AMN}=\frac{4}{9}S_{ABC}-\frac{1}{9}S_{ABC}\)

                  \(=\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{1}{3}.270=90\left(cm^2\right)\)

b) S_ABCD = \(\dfrac{1}{2}\) AH . BC

\(\Rightarrow\) 270 = \(\dfrac{1}{2}\) . AH . 15

\(\Rightarrow\) AH = \(\dfrac{270.2}{15}\) = 36 cm

Ta có AH = 3AK (câu a) và AK = KI (gt)

Do đó 

 KI = \(\dfrac{AH}{3}\) = \(\dfrac{36}{3}\) = 12 cm

S_MNFE  = \(\dfrac{1}{2}\) KI (MN + EF) = \(\dfrac{1}{2}\) . 12 (5 + 10) = 90 cm²

a) Ta có  và 

 AH = 3AK\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AK}{AH}\) = \(\dfrac{1}{3}\)

\(\Delta\)ABC có MK // BH (gt) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AM}{AB}\)= \(\dfrac{AK}{AH}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AM}{AB}\) = \(\dfrac{1}{3}\)

\(\Delta\)ABC có MN // BC (gt) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{MN}{BC}\) = \(\dfrac{AM}{BC}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{MN}{BC}\) = \(\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{MN}{15}\)= \(\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\) MN = \(\dfrac{15}{3}\) = 5 cm

...

∆AEI có MK // EI (gt) và K là trung điểm của AI (AK = KI)

\(\Rightarrow\) M là trung điểm của AE

Xét ∆AEF có MN // EF (gt)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{MN}{EF}\) = \(\dfrac{AM}{AE}\) 

Mà \(\dfrac{AM}{AE}\) = \(\dfrac{1}{2}\) (M là trung điểm của AE)

Nên \(\dfrac{MN}{EF}\) = \(\dfrac{1}{2}\) 

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{5}{EF}\) = \(\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\) EF = 10 cm