Chứng minh rằng :
a) \(C^{m-1}_{n-1}=\dfrac{m}{n}C^m_n\) \(\left(1\le m\le n\right)\)
b) \(C^m_{m+n}=C^m_{m+n-1}+C^n_{m+n-1}\) \(\left(1\le m,n\right)\)
Chứng minh rằng:
a) Số các nghiệm tự nhiên của phương trình \(x_1+x_2+...+x_m=n\left(n,m\in N\cdot\right)\) là \(C^n_{m+n-1}\).
b) Số các nghiệm nguyên dương của phương trình \(x_1+x_2+...+x_m=n\left(m\le n;m,n\in N\cdot\right)\) là \(C^{m-1}_{n-1}\).
Em có tìm một số lời giải cho bài toán này nhưng vẫn không hiểu lắm, mong ai đó có lời giải chi tiết và dễ hiểu :)
Bài toán chia kẹo kinh điển đây mà.
Trước hết chúng ta đếm 1 chút theo kiểu lớp 1 lớp 2 gì đó: có 1 đoạn thẳng, cần chia đoạn thẳng ấy làm 3 phần, vậy cần chấm lên đoạn thẳng ấy mấy điểm? Câu trả lời rõ ràng là 2 điểm. Cần chia 1 con cá thành 3 khúc, ta cần 2 nhát cắt; cần ngăn 4 con cọp xếp hàng ngang để chúng đỡ cắn nhau, ta cần 3 vách ngăn. Hay để chia 1 đối tượng làm n phần, ta cần dùng n-1 vách ngăn để chia nó ra, Như thế này:
Bây giờ có số tự nhiên n, ta phân tích nó như sau:
\(n=1+1+1+...+1+1+1\)
Giả sử ta "vách ngăn" vào một vài vị trí giữa các số 1, kiểu thế này:
\(1+1+\left|1+1+1\right|+1+|1+1+...+1\)
Rõ ràng với 3 vách ngăn trên, ta chia n thành 3+1=4 phần, mỗi phần đều có giá trị nguyên dương, lần lượt là 2,3,1,n-6.
Bây giờ cần chia dãy \(1+1+...+1\) trên thành m phần, vậy cần đặt bao nhiêu vách ngăn? Cũng như ban đầu đã phân tích, ta cần đặt \(m-1\) tấm vách ngăn.
Ta có bao nhiêu vị trí để đặt \(m-1\) vách ngăn nói trên? Có n số 1, ta sẽ có \(n-1\) vị trí đặt vách ngăn, sao cho giữa 2 vách ngăn có ít nhất một số 1 (hay giữa 2 vách ngăn luôn là 1 giá trị nguyên dương).
Tóm lại, để chia dãy tổng \(1+1+...+1\) (n số hạng) thành m phần, sao cho mỗi phần chứa ít nhất một số 1, ta cần đặt \(m-1\) tấm vách ngăn vào \(n-1\) vị trí khả dĩ. Như vậy, ta có \(C_{n-1}^{m-1}\) cách.
Hiển nhiên, giá trị của mỗi phần (tức là tổng các số 1 trong phần đó) chính là giá trị nghiệm \(x_i\) của pt \(\sum\limits^m_{i=1}x_i=n\). Vậy pt có \(C_{n-1}^{m-1}\) nghiệm nguyên dương.
//Bay giờ tới nghiệm tự nhiên thì đơn giản, số tự nhiên khác số nguyên dương đúng 1 số 0, bây giờ ta "loại" nó đi là ra bài toán bên trên. Bằng cách đặt \(y_1=x_1+1;y_2=x_2+1...;y_m=x_m+1\), ta đảm bảo \(y_i\) luôn nguyên dương khi \(x_i\) tự nhiên.
Khi đó:
\(y_1+y_2+...+y_m=\left(x_1+1\right)+\left(x_2+1\right)+...+\left(x_m+1\right)\)
\(=\left(x_1+x_2+...+x_m\right)+m=n+m\)
Quay về bài trên, ta có pt \(y_1+y_2+...+y_m=n+m\) có \(C_{n+m-1}^{m-1}\) nghiệm.
Ứng với mỗi \(y_i\) cho đúng 1 giá trị \(x_i=y_i-1\) tương ứng, do đó pt:
\(\sum\limits^m_{i=1}x_i=n\) có \(C_{n+m-1}^{m-1}\) nghiệm tự nhiên
Công thức đầu của em có vẻ bị sai :D
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{1+b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\dfrac{1}{abc}\)
Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc\le 1.$ Chứng minh rằng $\dfrac{a\left( 1-{{b}^{3}} \right)}{{{b}^{3}}}+\dfrac{b\left( 1-{{c}^{3}} \right)}{{{c}^{3}}}+\dfrac{c\left( 1-{{a}^{3}} \right)}{{{a}^{3}}}\ge 0$.
Cho 3 số a,b,c thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(B=\left(a+b+c+3\right)\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)
Cho các số thực a, b, c thoả mãn: \(1\le a\le b\le c\le2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Cho các số thức a,b,c thỏa mãn 1\(\le\) a,b,c \(\le\) 2 . Chứng minh rằng
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le10\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}-7\le0\)
Đặt \(P=\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-7\)
Không mất tỉnh tổng quát, giả sử \(a\le b\le c\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc\ge b^2+ac\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{c}+1\ge\frac{b}{c}+\frac{a}{b}\\1+\frac{c}{a}\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2-7=2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)-5\)
Do \(1\le a\le c\le2\Rightarrow1\le\frac{c}{a}\le2\)
Đặt \(\frac{c}{a}=x\Rightarrow1\le x\le2\)
\(\Rightarrow P\le2\left(x+\frac{1}{x}\right)-5=\frac{2x^2-5x+2}{x}=\frac{\left(2x-1\right)\left(x-2\right)}{x}\le0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;2\right);\left(1;2;2\right)\) và các hoán vị
=\(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=3+\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
áp dụng hệ quả của bđt côsi \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)với a,b >0 ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
vậy .....
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn 0≤a≤b≤c≤1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(a+b+c+3\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
Đặt \(\left(a+1;b+1;c+1\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow1\le x;y;z\le2\)
\(\Rightarrow A=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Nhưng như vậy thì dễ quá, nên chắc đây là 1 bài toán tìm GTLN
Tìm GTLN thì nó chính là bài toán này, làm biếng gõ lại:
Câu hỏi của Trần Minh Hiển - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Tìm tất cả các bộ ba số (a;b;c) là các số nguyên dương thỏa mãn
\(a\le b\le c\) và \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=2\)
1 . Tìm các cặp số nguyên \(\left(x;y\right)\)thỏa mãn \(x+y+2=xy\)
2 . Cho ba số dương \(0\le a\le b\le c\le1\) . Chứng minh rằng \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)
Bài 1:
Ta có:
$x+y+2=xy$
$\Leftrightarrow xy-x-y=2$
$\Leftrightarrow x(y-1)-(y-1)=3$
$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=3$
Đến đây là dạng phương trình tích đơn giản. Ta xét các TH sau:
TH1: $x-1=1$ và $y-1=3$
$\Rightarrow x=2; y=4$
TH2: $x-1=-1$ và $y-1=-3$
$\Rightarrow x=0; y=-2$
Do vai trò $x,y$ như nhau nên $x=4;y=2$ và $x=-2;y=0$ cũng thỏa mãn
Vậy.......
Vậy.........