Viết lại phương trình (E):\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)

a) Từ phương trình ta có: a²=25=>a=5 =>A₁(-5;0) A₂(5;0)

b²=9=>b=3 =>B₁(0;-3) B₂(0;3)

c²=a²-b²=25-9=16 =>c=4

=> F₁(-4;0) F₂(4;0)

b) Giả sử tọa độ điểm M(m;n)

MF₁ góc với MF₂ => (m+4)(m-4) + n²=0

<=> m²+n²=16 =>9m²+9n²=144(1)

Do M thuộc (E) nên 9m²+25n²=225(2)

Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được 16n²=81

=> \(n=_-^+\dfrac{9}{4}\)

với n\(=\dfrac{9}{4}\)=> m=\(\dfrac{5\sqrt{7}}{4}\)

với n\(=-\dfrac{9}{4}\)=> m\(=\dfrac{5\sqrt{7}}{4}\)

Vậy tọa độ M thỏa mãn là \(\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4};\dfrac{9}{4}\right)\)và\(\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4};-\dfrac{9}{4}\right)\)

Bài 1:

\(9x^2+25y^2=225\Leftrightarrow\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)

\(\Rightarrow c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4\Rightarrow F_2\left(4;0\right)\)

Đường thẳng qua \(F_2\) vuông góc trục lớn có pt \(x=4\)

\(\Rightarrow9.4^2+25y^2=225\Leftrightarrow25y^2=81\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\frac{9}{5}\\y=-\frac{9}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M\left(4;\frac{9}{5}\right)\\N\left(4;-\frac{9}{5}\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Gọi pt elip có dạng \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1\\\frac{0}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=1\\a^2=4\end{matrix}\right.\)

Phương trình elip: \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\)

a) Ta có:

\(\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {x + c;y} \right) \Rightarrow {F_1}M = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} \)

\(\overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {x - c;y} \right) \Rightarrow {F_2}M = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \)

b) Ta có \(M(x;y) \in (E)\) nên \({F_1}M + {F_2}M = 2a \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}}  = 2a\)

a) Ta có:

\(\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {x + c;y} \right) \Rightarrow {F_1}M = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} \)

\(\overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {x - c;y} \right) \Rightarrow {F_2}M = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \)

b) Ta có \(M(x;y) \in (E)\) nên \(\left| {{F_1}M - {F_2}M} \right| = 2a \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}}  - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)

Ta có: c2 = a2 - b2 = 9 - 1 = 8 ⇒ c = 2√2

⇒ F1(-2√2;0), F2(2√2;0)

Tìm trên (E) điểm M sao cho MF1 = 2MF2

Giả sử M(x;y) là điểm thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Vì M thuộc (E) nên:

Theo đề bài ta có:

Thay (1) vào (2) ta được:

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là:

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có: \(a = 7,b = 5 \Rightarrow c = 2\sqrt 6 {\rm{ }}(do{\rm{ }}{{\rm{c}}^2} + {b^2} = {a^2})\)

Vậy ta có tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy là: \({A_1}\left( { - 7;{\rm{ }}0} \right)\)\({A_2}\left( {7;{\rm{ }}0} \right)\)\({B_1}\left( {0; - {\rm{ 5}}} \right)\)\({B_2}\left( {0;{\rm{ 5}}} \right)\)

Hai tiêu điểm của (E) có tọa độ là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 6 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 6 ;0} \right)\)