Ta đã biết nếu G' là trọng tâm tam giác ABC thì:
\(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\).
Gỉa sử có điểm G thỏa mãn: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta sẽ chứng minh \(G\equiv G'\).
Thật vậy:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\).
Vậy \(G\equiv G'\).

Lời giải:
Bổ đề: Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Chứng minh:

* Chiều thuận:

Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại $M$ thì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

Ta có: \(\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM};\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

Mà theo tính chất trọng tâm: \(-\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GM}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

* Chiều đảo:

Gọi $M,N$ là trung điểm của $BC,AC$

Vì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}\) nên $G,A,M$ thẳng hàng.

Tương tự: $G,B,N$ thẳng hàng nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Ta có đpcm.

----------------------------------------------

Áp dụng vào bài:

$G$ là trọng tâm của $ABC$ và $A'B'C'$

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA'}-\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB'}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)

Cách khác:

Gọi \(G,G'\)lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\) ,ta có:

\(3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)

\(3\overrightarrow{GG'}=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\right)\)

\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)

Để hai tam giác ABC và A'B'C' có trọng tâm trùng nhau \(\Rightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)(đpcm)

1) đây nha : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/637285.html

câu 2 cũng chả khác gì cả

ta đx biết nếu G là trọng tâm của ABC thì 
GA+GB+GC=0 
AA' =AG+GG'+G'A' 
BB'=BG+GG'+G'B' 
CC'=CG+GG'+G'C" 
==> AA'+BB'+CC'=(AG+BG+CG)+3GG'+(G'A'+G'B'+G... 
ĐPCM 
dk cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm là 
AA'+BB'+CC' =0 
c/m: 
dk cần:AA'+BB'+CC'=0 thì ABC và A'B'C' cùng trọng tâm 
vì AA'+BB'+CC'=3GG' 
==> GG'=0 ==> G trùng G' 
dk đủ: G trùng G' thì AA'+BB'+CC'=0 
AA'+BB'+CC'=3GG' 
mà GG' =0 ==> AA'+BB'+CC'=0 ĐPCM

Tự hỏi tự TL z

a) Ta có:
\(\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\).
Vậy A là trung điểm của B'C'.
b)

Theo câu a ta chứng minh được A là trung điểm của B'C'.
Tương tự ta chứng minh được: B là trung điểm của A'C'; C là trung điểm của A'B'.
Từ đó suy ra ba đường thẳng AB', BB', CC' là ba đường trung tuyến của tam giác A'B'C' nên ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.

a)
Có: \(3\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=3\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\right)-\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)\)
\(=2\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\)\(=2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{OM}\). (Đpcm).
b)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta chứng minh G cũng là trọng tâm tam giác MNP.
Ta có: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}\).
Thật vậy \(\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\)
\(=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)
\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\).
Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNP. (Đpcm).

Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}\)

Ta sẽ chứng minh \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)

Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C ( cũng là hình chiếu của H) trên các đường thẳng BC, CA, AB và gọi Ao, Bo, Co theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB (như hình vẽ)

Chiếu vectơ \(\overrightarrow{u}\)  lên đường thẳng BC theo phương của \(\overrightarrow{AH}\) ta được 

\(\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{A_oA_1}+\overrightarrow{A_oB}+\overrightarrow{A_oC}-\overrightarrow{A_oA_1}=\overrightarrow{O}\)

Suy ra  \(\overrightarrow{u}\)  cùng phương với \(\overrightarrow{AH}\)  (1)

Tương tự như vậy,

ta cũng có  \(\overrightarrow{u}\)   cùng phương với \(\overrightarrow{BH,}\overrightarrow{CH}\) (2)

Từ (1) và (2) và do các vectơ \(\overrightarrow{AH,}\), \(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CH}\) đôi một không cùng phương suy ra \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)

Vậy \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\)

Nhưng \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\) nên \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\)

Do đó G, H, O thẳng hàng

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  = 3\overrightarrow {MG} \) (đpcm) ( Vì G  là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \))