a)    Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2 \ge 3\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Dãy số bị chặn dưới

b)    Ta có:

\(\begin{array}{l} - 2n \ge  - 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow  - 2n + 1 \ge  - 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

 Dãy số bị chặn dưới

c)    Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + n \ge 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{{n^2} + n}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

 Dãy số bị chặn

a) Ta có: \(n \ge 1\; \Rightarrow n - 1 \ge 0\; \Rightarrow {u_n} \ge 0,\;\forall \;n \in {N^*}\;\)

Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 0.

\(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(n - 1 < M,\;\forall \;n \in {N^*}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0.\\{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow 0 < {u_n} < 1\end{array}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

c) Ta có: 

\( - 1 < \sin n < 1\)

\( \Rightarrow  - 1 < {u_n} < 1,\forall n \in {N^*}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

d) Ta có: 

Nếu n chẵn, \({u_n} =  - {n^2} < 0\), \(\forall n \in {N^*}\).

Nếu n lẻ, \({u_n} = {n^2} > 0\), \(\forall n \in {N^*}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.

a) Bị chặn trên vì \(u_n\le1,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

b) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge2,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

c) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge\sqrt{3},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

d) Bị chặn vì \(0< u_n\le\dfrac{1}{2},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

Chọn A

• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - \left( {{n^2} + n + 3n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - {n^2} - n - 3n - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

• Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1 \Leftrightarrow {u_n} < 1\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} \ge 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Chọn A.

• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

• Ta có: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Ta có: \(u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}=\dfrac{2\left(n+2\right)-3}{n+2}=2-\dfrac{3}{n+2}\)

\(\forall x\in N\)*, ta có:

\(n+2>0\Leftrightarrow\dfrac{3}{n+2}>0\Leftrightarrow2-\dfrac{3}{n+2}< 2\Leftrightarrow u_n< 2\)

Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên.

\(n\ge1\Leftrightarrow n+2\ge3\Leftrightarrow\dfrac{3}{n+2}\le1\Leftrightarrow2-\dfrac{3}{n+2}\ge1\Leftrightarrow u_n\ge1\)

Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn.

a:

\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1;n\in Z^+\)

Khi n chẵn thì \(\left(-1\right)^n=1\)

=>\(u_n=cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)

=>\(0< =u_n< =1\)

=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [0;1]

Khi n lẻ thì \(\left(-1\right)^n=-1\)

=>\(u_n=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)

\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1\)

=>\(0>=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)>=-1\)

=>\(0>=u_n>=-1\)

=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [-1;0]

b: \(-1< =\dfrac{1}{5^n}< =0\)

=>\(-\sqrt{2}< =\dfrac{\sqrt{2}}{5^n}< =0\)

=>\(-\sqrt{2}< =t_n< =0\)

Vậy: Dãy số bị chặn ở khoảng \(\left[-\sqrt{2};0\right]\)