Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử \(\widehat{AOH}=\alpha\). Tính AK và OK theo a và \(\alpha\) ?
Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử ∠AOH = α. Tính AK và OK theo a và α.
ΔAOB cân tại O nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác
Xét ΔOAK vuông tại K có:
Cho tam giác AOB cân tại O có OA=a và các đường cao OH, AK. Giả sử góc AOH =\(\alpha\). Tính AK và OH theo a và \(\alpha\)
\(\widehat{O}=2\widehat{AOH}=2\alpha\)
Trong tam giác vuông AOK:
\(AK=OA.sin\widehat{O}=a.sin\left(2\alpha\right)\)
Trong tam giác vuông AOH:
\(OH=OA.cos\widehat{AOH}=a.cos\alpha\)
Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử = α. Tính AK và OK theo a và α.
Ta có = 2α => Trong tam giác OKA có:
AK = OA.sin. => AK = a.sin2α
OK =OA.cos. => OK = a.cos2α
Cho tam giác ABC nhọn (\(\widehat{ABC}=\alpha,\widehat{ACB}=\beta\)) nội tiếp đường tròn (O;R) có tâm nội tiếp I, tâm bàng tiếp J ứng với đỉnh A và đường cao AD. Trên tia AD lấy điểm K sao cho AK=2R.
a) Chứng minh: \(\widehat{OAI}=\frac{\widehat{DAO}}{2}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{sđ\widebat{BAC}}\) và tứ giác DIJK nội tiếp ?
b) Gọi M là điểm chính giữa cung BC nhỏ, AM cắt BC tại L. Tia KM cắt (KIJ) tại điểm thứ hai N. CMR: KL vuông góc AN ?
c) Lấy Q đối xứng với J qua K. CMR: Trực tâm tam giác AJQ nằm trên đường thẳng BC ?
d) Gọi DI căt AC tại E, IK cắt BC tại F. Giả sử \(\alpha>\beta\), chứng minh rằng: Nếu IE = IF thì \(\alpha\le3\beta\) ?
a) +) Dễ thấy: ^BAD = ^CAO (Cùng phụ ^ABC). Mà ^BAI = ^CAI nên ^OAI = ^DAI
Suy ra: ^OAI = ^DAO/2 = ^BAI - ^BAD = ^BAC/2 - 900 + ^ABC = ^BAC/2 - (^BAC+^ABC+^ACB)/2 + ^ABC
= (^ABC + ^ACB)/2 = \(\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{sđ\widebat{BAC}}\) (đpcm).
+) Kẻ đường kính AG của đường tròn (O). Dễ thấy: Tứ giác BICJ nội tiếp, gọi (BICJ) cắt AC tại R khác C.
Do AK=2R nên AK = AG. Ta có: ^ARB = ^ARI + ^BRI = ^IBC + ^ICB = (^ABC+^ACB)/2 = ^ABI + ^IBC = ^ABR
=> \(\Delta\)BAR cân tại A => AB = AR. Kết hợp với AK=AG, ^BAG = ^RAK (cmt) => \(\Delta\)ABG = \(\Delta\)ARK (c.g.c)
=> ^ABG = ^ARK = 900 => ^KRC = ^KDC = 900 => Tứ giác DKCR nội tiếp
=> AD.AK = AR.AC = AI.AJ => Tứ giác DIJK nội tiếp (đpcm).
b) \(\Delta\)KAG cân tại A có phân giác AI => AI vuông góc KG hay AM vuông góc KG. Mà AM vuông góc GM
Nên K,G,M thẳng hàng => K,M,G,N thẳng hàng => AM vuông góc KN tại M
Ta thấy: M là trung điểm IJ, KM vuông góc IJ tại M nên \(\Delta\)KIJ cân tại K
Xét đường tròn (KIJ): KI = KJ, KN vuông góc IJ => KN là đường kính của (KIJ)
Mà D thuộc đường tròn (KIJ) (cmt) => ^KDN = 900 => ND vuông góc AK tại D => N,L,D thẳng hàng
Xét \(\Delta\)AKN có: AM vuông góc KN, ND vuông góc AK, AM và ND cùng đi qua L
=> L là trực tâm \(\Delta\)AKN => KL vuông góc AN (đpcm).
c) Gọi P là trực tâm của \(\Delta\)AJQ
Do \(\Delta\)KIJ cân tại K => ^KIJ = ^KJI. Có tứ giác DIJK nội tiếp => ^KIJ = ^KDJ => ^KDJ = ^KJI
Từ đó: \(\Delta\)DKJ ~ \(\Delta\)JKA (g.g) => KJ2 = KD.KA => KQ2 = KD.KA => \(\Delta\)KQD ~ \(\Delta\)KAQ (c.g.c)
Suy ra: ^QDJ = ^KDQ + ^KDJ = ^AQK + ^AJK = 1800 - ^QAJ = 1800 - ^QPJ => Tứ giác PQDJ nội tiếp
^PDJ = ^PQJ => ^PDK + ^KDJ = ^PDK + ^QJA = ^PQJ => ^PDK = ^PQJ - ^QJA = 900
=> PD vuông góc AD. Mà BC vuông góc AD tại D nên PD trùng BC hay P nằm trên BC (đpcm).
d) Ta thấy: ^ABC > ^ACB (\(\alpha>\beta\)) => ^BAD < ^CAD. Lại có: ^BAI = ^CAI, ^BAD + ^CAD = ^BAI + ^CAI = ^BAC
Suy ra ^BAD < ^BAI => B và I nằm khác khía so với AD => D thuộc [BF]
Hạ IS, IT vuông góc với AC,AB thì F thuộc [DT] => Thứ tự các điểm trên BC là B,D,F,T,C. Do đó: ^IFC = ^DFK < 900
Ta xét thứ tự các điểm trên cạnh AC:
+) A,S,E,C: Vì IS vuông góc AC, theo thứ tự này thì ^IEC > 900. Cũng dễ có: \(\Delta\)IES = \(\Delta\)IFT (Ch.cgv)
=> ^IES = ^IFT < 900 => ^IFT + ^IEC = 1800 => Tứ giác FIEC nội tiếp => ^ECF = ^DIK
Mà ^DIK = ^DJK = ^DAI = \(\frac{\alpha-\beta}{2}\) nên \(\beta=\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha=3\beta\) (*)
+) A,E,S,C: Trong TH này thì ^IEC < 900 => ^IFT + ^IEC < 1800 => ^ECF + ^EIF > 1800
=> ^ECF > ^DIK hay \(\beta>\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha< 3\beta\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: \(\alpha\le3\beta\) (đpcm).
1/Cho tam giác cân OAB, đáy là AB. Kẻ đường cao OH và AK. Đặt OA = a, \(\widehat{AOH}\)= \(\beta\)
Tính AB và AK the a và \(\beta\).?
2/ Cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) bán kính r.
Tính diện tích phần mặt phẳng nằm ngoài hình tròn (O) nhưng trong hình thoi nếu biết
\(\widehat{A}\)=600
Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử = α. Tính AK và OK theo a và α.
Hướng dẫn giải:
Ta có \(\widehat{AOB}\) = 2α => Trong tam giác OKA có:
AK = OA.sin.\(\widehat{AOK}\) => AK = a.sin2α
OK =OA.cos.\(\widehat{AOK}\) => OK = a.cos2α
Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ một điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn. Dây PQ cắt OM tại N và căt OA tại B.
a) Chứng minh: OA.OB=OM.ON=R2
b) Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MPQ.
c) Giả sử tam giác MPQ cố định có góc MPQ =\(2\alpha\) . Tính diện tích tứ giác MPOQ theo R và góc \(2\alpha\). Nếu cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MPQ là r, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa R, r và góc \(2\alpha\).
~Giúp mình nha ‾▿‾~ Cảm ơn trước (づ ‾‾ ³ ‾‾ )づ
Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{A}\)=\(\alpha\)đường cao AH=h,1 tiếp tuyến của đường tròn (A;h) cắt 2 tia AB và AC tại D,E
a)S(ABC)<S(ADE)
b)trong các tam giác ABC có \(\widehat{A}\)=\(\alpha\)đường cao AH=h,tam giác nào có diện tích nhỏ nhất
Ik mk nha, hôm nay ngày mai, ngày kia mk ik 3 lần lại cho bạn (thành 9 lần)
Nhớ kb với mìn lun nha!! Mk rất vui đc làm quen vs bạn, cảm ơn mn nhìu lắm
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) (AB<AC). Hai đường cao AD, CE cắt nhau tại H.
a) Giả sử \(\widehat{A}\)=600. Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R
b) Kẻ đường kính AK cắt CE tại M, CK cắt AD tại F. C/m: BEHD nội tiếp và AH.AF=AM.AK
c) Gọi I là trung điểm BC; EI cắt AK tại N. C/m: EDNC là hình thang cân