Với x>0, GTNN của biểu thức
\(A=\dfrac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}\) là ...... (tại sao kq lại là 49 ak??)
Thank you very very much!!!
Giúp mình với, chiều nay kiểm tra nhưng mình không hiểu bài này
Dùng bđt Côsi tìm gtnn của biểu thức:
\(A=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)
\(A=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(x-1\right)+9}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\left(\sqrt{x}+1\right)+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\)Tại sao ở biểu thức nó lại có -2 ở cuối vs \(\sqrt{x}-1\)sao lại thành \(\sqrt{x}+1\)
Vấn đề là ở chỗ\(\sqrt{x}-1=\sqrt{x}+1-2\)
(1-2=-1)
Bài này hiện tại vẫn chưa áp dụng cauchy gì cả!
Với x>0, tìm GTNN của A=\(\dfrac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}\)
\(A=\dfrac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}\)
\(A=\dfrac{x^2+25x+144}{x}\)
Vì x>0 nên ta được quyền rút gọn
\(A=x+25+\dfrac{144}{x}\)
Vì x>0 nên \(\dfrac{144}{x}>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho \(x+\dfrac{144}{x}\left(x>0\right)\), ta có:
\(\dfrac{x+\dfrac{144}{x}}{2}\ge\sqrt{\dfrac{x.144}{x}}\)
\(x+\dfrac{144}{x}\ge2.\sqrt{144}\)
\(x+\dfrac{144}{x}\ge24\)
\(A=x+\dfrac{144}{x}+25\ge24+25\)
Vậy MinA =49 khi \(x=\dfrac{144}{x}\)
\(x=\dfrac{144}{x}\)
\(x^2=144\)
\(x=\pm12\)
Chọn nghiệm x=12 ( x>0)
Vậy: MinA=49 khi x=12
Cho biểu thức:
P = \(\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{4-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\left(x>0,x\ne4,x\ne9\right)\)
a) Rút gọn P
b) Với \(x>9\), tìm GTNN của P
a) \(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{8x}{4-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)
\(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{8x}{x-4}\right):\left[\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]\)
\(P=\left[\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{8x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]:\dfrac{\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(P=\left[\dfrac{4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{8x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]:\dfrac{-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(P=\dfrac{4x-8\sqrt{x}-8x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}:\dfrac{-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(P=\dfrac{-4x-8\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}:\dfrac{-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(P=\dfrac{-4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{-\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(P=\dfrac{-4\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{-\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(P=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)
b) \(P=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)
\(P=4\left(\sqrt{x}-3\right)+\dfrac{36}{\sqrt{x}-3}+24\)
Theo BĐT côsi ta có:
\(P\ge\sqrt{\dfrac{4\left(\sqrt{x}-3\right)\cdot36}{\sqrt{x}-3}}+24=36\)
Vậy: \(P_{min}=36\Leftrightarrow x=36\)
Tìm GTNN của: \(A=\dfrac{\left(x+4\right).\left(x+9\right)}{x}\) với x>0
\(A=x+13+\dfrac{36}{x}=\left(x+\dfrac{36}{x}\right)+13\ge2\sqrt{\dfrac{x.36}{x}}+13=12+13=25.\text{ Dấu }"="\text{ xảy ra khi: }x=\dfrac{36}{x}\text{ hay: }x=6\)
Ta có: \(A=\dfrac{x^2+13x+36}{x}=\dfrac{25x+x^2-12x+36}{x}\) \(=\dfrac{25x+\left(x-6\right)^2}{x}=25+\dfrac{\left(x-6\right)^2}{x}\ge25\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=6\)
Vậy \(Min_A=25\) khi \(x=6\)
Cho biểu thức:\(M=\left(\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{x+9}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt{x}-5}{x-3\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\) với: \(x>0;x\ne9\)
1/ Rút gọn biểu thức M |
2/ Tìm x sao cho M < 0 |
3/ Tìm số tự nhiên x để M nguyên âm |
4/ Cho x > 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của M |
a) \(M=\left(\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{x+9}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt{x}-5}{x-3\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\)
\(=\dfrac{3.\left(\sqrt{x}-3\right)+x+9}{\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}:\dfrac{2\sqrt{x}-5-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}.\dfrac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x}{\sqrt{x}-2}\)
b) \(M< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< 0\Leftrightarrow x< 4\)
Kết hợp điều kiện ta được \(0< x< 4\) thì M < 0
c) Từ câu b ta có M < 0 \(\Leftrightarrow0< x< 4\)
nên \(x\inℤ\) để M nguyên âm <=> \(x\in\left\{1;2;3\right\}\)
Thay lần lượt các giá trị vào M được x = 1 thỏa
d) \(M=\dfrac{x}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2+\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}=\left(\sqrt{x}-2+\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\right)+4\)
Vì x > 4 nên \(\sqrt{x}-2>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(M=\left(\sqrt{x}-2+\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\right)+4\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-2\right).\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}}+4=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}-2=\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\Leftrightarrow x=16\left(tm\right)\)
1) \(M=\left(\dfrac{3}{\sqrt[]{x}+3}+\dfrac{x+9}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt[]{x}-5}{x-3\sqrt[]{x}}-\dfrac{1}{\sqrt[]{x}}\right)\left(x>0;x\ne9\right)\)
\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{3\left(\sqrt[]{x}-3\right)}{\left(\sqrt[]{x}+3\right)\left(\sqrt[]{x}-3\right)}+\dfrac{x+9}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt[]{x}-5}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}-\dfrac{1}{\sqrt[]{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{3\sqrt[]{x}-9+x+9}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt[]{x}-5-\left(\sqrt[]{x}-3\right)}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{3\sqrt[]{x}+x}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt[]{x}-5-\sqrt[]{x}+3}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}+3\right)}{x-9}\right):\left(\dfrac{\sqrt[]{x}-2}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-3}\right):\left(\dfrac{\sqrt[]{x}-2}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-3}.\dfrac{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}{\sqrt[]{x}-2}\)
\(\Leftrightarrow M=\dfrac{x}{\sqrt[]{x}-2}\)
2) Để \(M< 0\) khi và chỉ chi
\(M=\dfrac{x}{\sqrt[]{x}-2}< 0\left(1\right)\)
Nghiệm của tử là \(x=0\)
Nghiệm của mẫu \(\sqrt[]{x}-2=0\Leftrightarrow\sqrt[]{x}=2\Leftrightarrow x=4\)
Lập bảng xét dấu... ta được
\(\left(1\right)\Leftrightarrow0< x< 4\)
3) \(M=\dfrac{x}{\sqrt[]{x}-2}\inℤ^-\)
\(\Leftrightarrow x⋮\sqrt[]{x}-2\)
\(\Leftrightarrow x-\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-2\right)⋮\sqrt[]{x}-2\)
\(\Leftrightarrow x-x+2\sqrt[]{x}⋮\sqrt[]{x}-2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{x}⋮\sqrt[]{x}-2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{x}-2\left(\sqrt[]{x}-2\right)⋮\sqrt[]{x}-2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{x}-2\sqrt[]{x}+4⋮\sqrt[]{x}-2\)
\(\Leftrightarrow4⋮\sqrt[]{x}-2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x}-2\in\left\{-1;-2;-4\right\}\)
\(\Leftrightarrow x\in\left\{1;0\right\}\)
\(\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)=297\)
Giải hộ mk với mấy bạn thank very much ^ ... ^
(x - 3)(x + 7)(x - 1)(x + 5) = 297
=> (x2 + 4x - 21)(x2 + 4x - 5) = 297
Đặt a = x2 + 4x - 5 , ta được pt :
(a - 16)a = 297 => a2 - 16a - 297 = 0 => a = 27 hoặc a = -11
+ Với a = 27 => x2 + 4x - 5 = 27 => x2 + 4x - 32 = 0 => x = -8 hoặc x = 4
+ Với a = -11 => x2 + 4x - 5 = -11 => x2 + 4x + 6 = 0 , mà x2 + 4x + 6 > 0 => vô nghiệm
Vậy x = -8 , x = 4
Cho đơn thức \(D=\left(\sqrt{3}x^2y\right)^2\left(\frac{-2}{3}\right)^2.x.\left(-y^2z\right)^3\)
a) Thu gọn D rồi cho biết hệ số và phần biến của đơn thức ?
b) Tính giá trị của đơn thức D tại x = -1; y = \(\frac{1}{2}\); z = 1
MẤY PN GIÚP MIK NHA ! THANK YOU VERY MUCH
A) \(D=-\frac{4}{3}x^5y^8z^3\)
b) \(D=-\frac{4}{3}\left(-1\right)^5.\left(\frac{1}{2}\right)^8.1^3=\frac{1}{192}\)
cho x,y >0 với x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức
A=\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
. P= x^2 +1/ x^2+ 2 +y^2+ 1/y^2 +2 (*) áp dụng bđt cosi cho các số dương x^2; y^2 và 1/x^2 và 1/y^2 được x^2+y^2 >= 2xy (1) và 1/X^2 +1/y^2 >=2/xy (2) thay vào (*) P >= 4+2xy+2/(xy) (**) Do x,y>0 áp dụng bđt cosi cho 2 số dương 2xy và 2/ (xy) ta được 2xy+2/(xy)>=2 căn (2xy . 2/(xy))=2 (3) thay trở lại (**) được P>= 4+2=6 Dấu bằng sảy ra khi dấu bằng ở (1)(2)(3) cùng đồng thời sảy ra tức là (1) x=y; (2) 1/x=1/y ;(3) xy=1/(xy) => x=y Vậy GTNN của biểu thức là 6 sảy ra khi x=y
Áp dụng BĐt bunyakovsky:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
áp dụng BĐT cauchy dạng phân thức:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}=4\)
do đó \(A\ge\dfrac{1}{2}\left(1+4\right)^2=\dfrac{25}{2}\)
dấu = xảy ra khi x=y=0,5
\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}+\dfrac{x}{x-\sqrt{x}}\right):\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\) với x > 0; x \(\ne\) 1
a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN của biểu thức M = P.\(\sqrt{x}\) khi x > 1
Lời giải:
\(P=\left[\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(=\left[\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right].\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)
b. Áp dụng BĐT AM-GM
\(M=P\sqrt{x}=\frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=(\sqrt{x}-1)+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}-1).\frac{1}{\sqrt{x}-1}}+2=2+2=4\)
Vậy $M_{\min}=4$ khi $\sqrt{x}-1=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$
$\Rightarrow \sqrt{x}-1=0$
$\Leftrightarrow x=1$