Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dũng Nguyễn

\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}+\dfrac{x}{x-\sqrt{x}}\right):\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\) với x > 0; x \(\ne\) 1

a) Rút gọn P

b) Tìm GTNN của biểu thức M = P.\(\sqrt{x}\) khi x > 1

Akai Haruma
26 tháng 5 2023 lúc 23:49

Lời giải:
\(P=\left[\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=\left[\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right].\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

b. Áp dụng BĐT AM-GM

\(M=P\sqrt{x}=\frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=(\sqrt{x}-1)+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}-1).\frac{1}{\sqrt{x}-1}}+2=2+2=4\)

Vậy $M_{\min}=4$ khi $\sqrt{x}-1=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

$\Rightarrow \sqrt{x}-1=0$

$\Leftrightarrow x=1$


Các câu hỏi tương tự
huy tạ
Xem chi tiết
Phan Bao Uyen
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong TH Hoa...
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong TH Hoa...
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong TH Hoa...
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong TH Hoa...
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong TH Hoa...
Xem chi tiết
Vy Thảo
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong TH Hoa...
Xem chi tiết