Lời giải:
a. Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{1}{a}+\frac{a}{4}\geq 1$

$\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\geq 1$

$\frac{1}{c}+\frac{c}{4}\geq 1$

Cộng theo vế:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a+b+c}{4}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{4}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm) 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
b.

Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{a^2}{c}+c\geq 2a$

$\frac{b^2}{a}+a\geq 2b$

$\frac{c^2}{b}+b\geq 2c$

$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+(c+a+b)\geq 2(a+b+c)$

$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq a+b+c=6$ (đpcm) 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

a: =(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1

=(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)+1

=(x^2+3x+1)^2>=0 với mọi x

b: (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2

=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz

=(a^2y^2-2axby+b^2x^2)+(a^2z^2-2azcx+c^2x^2)+(b^2z^2-2bzcy+c^2y^2)

=(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2>=0(luôn đúng)

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Đặt b+c=x , c+a=y , a+b=z => a+b+c=(x+y+z)/2 
=> a=(y+z-x)/2 và b=(x+z-y)/2 và c=(x+y-z)/2 

VT = a/(a+b) +b/(b+c) +c/(c+a) 
=(y+z-x)/(2x) + (x+z-y)\(2y) + (x+y-z)/(2z) 
=(y/x + z/x -1+ x/y + z/y -1+ x/z + y/z -1 )/2 
=( y/x+ z/x + x/y + z/y + x/z + y/z -3 )/2 

Áp dụng Bđt cô si (3 lần cho 3 cặp nghich đảo) 
( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) >= 2x3 =6 <=> 
( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) -3 >= 3<=> 
[( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) -3]/2 >= 3/2<=> 
VT >= 3/2 
Dấu = xảy ra khi: x=y=z <=> a=b=c

Ta Đặt

\(b+c=x;c+a=y;a+b=z\)

\(\Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)

Khi đó VT trở thành:

\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)

Áp dụng BĐT cô-si, ta được;

VT\(\ge\frac{1}{2}\left(6-3\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc}\)

Ta có: \(a,b,c>0\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng Engel ta có: 

\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+ac+bc\right)}\)

Ta chứng minh BĐT phụ:

\(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2\)( b tự chứng minh. không chứng minh được thì bảo mình )

Áp dụng:

\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

                                          đpcm

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

A) a²+b²+c²+ab+bc+ca>=0 (*)

<=> 2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ca>=0

<=> (a²+2ab+b²)+(b²+2bc+c²)+(c²+2ca+a²)>=0

<=> (a+b)²+(b+c)²+(c+a)²>=0

BĐT cuối luôn đúng với mọi a,b,c 

Vậy BĐT (*) đc cm

Phần B cũng tương tự nhé

a) Ta có : a² + b² + c² + ab + bc + ca = (a + b + c)²

Mà \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\forall x\)

Nên : a² + b² + c² + ab + bc + ca \(\ge0\forall x\)

b) hình như sai đề rồi bạn à !