Các cao nhân giúp mình với

Bài 1: Cho n > 3 và n ∈ N. Chứng minh nếu 2ⁿ = 10a + b với a; b ∈ N và 0 < b < 9 thì ab ⋮ 6

Bài 2: Cho các số nguyên dương thỏa mãn a² + b² = c². Chứng minh rằng abc ⋮ 60

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a + 1 và 2a + 1 đều là các số chính phương thì a ⋮ 24

Bài 4: Chứng minh rằng nếu a + 1 và 3a + 1 đều là các số chính phương thì a ⋮ 40

Bài 5: Cho 3 số nguyên dương thỏa mãn a³ + b³ + c³ ⋮ 14. Chứng minh rằng abc cũng ⋮ 14

Bài 6: Cho biểu thức S = n⁴ + 2n³ – 16n² – 2n + 15. Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để S ⋮ 16

Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để
.
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị là số nguyên.
Bài 2: (4,5 điểm). 
a) Giải phương trình :
.
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + 2)(2x2 – 5x) - x3 - 8
c) Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn:
. Tính giá trị của biểu thức:
.
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: y(x – 1) = x2 + 2
b) Chứng minh rằng nếu các số nguyên a, b, c thỏa mãn b2 – 4ac và b2 + 4ac đồng thời là các số chính phương thì abc
30. 
Bài 4: (6,0 điểm). 
1) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC
. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E, EM cắt BC tại I.
a) Chứng minh EA.EB = ED.EC.
b) Chứng minh
.
c) Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2.
d) Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại B, đường thẳng vuông góc với CD tại C, chúng cắt nhau tại K. Chứng minh MK luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
e) Đặt BC = a; EC = b; BE = c; AD = a’; AI = b’; DI = c’.
Chứng minh
.
2) Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác B và C). Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm M. Tìm vị trí của D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất 
Bài 5: (1,5 điểm). Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng 

(1)/(1-ab)+(1)/(1-bc)+(1)/(1-ca)<=9/2

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x 2 + 4xy + 3y2

b) x 3 – y 3 + z3 + 3xyz

c) x 4 + 2x2 – x + 2

Câu 2. Chứng minh rằng a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau:

a) a 2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

b) (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2 )

c) (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca)

Câu 3. Chứng minh rằng với số tự nhiên n thì A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số chính phương.

Câu 4. Tìm x thỏa mãn a) (x – 1)3 + (x – 3)3 = (2x – 4)3 b) (2x – 1)3 + (x + 3)3 = (3x + 2)3 c) (2x + 1)3 + (3x + 3)3 + (-5x - 4)3 = 0

1. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.

2. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

3. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

4. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: a b a b   

5. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

6. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

7. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

8. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

9. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của avà b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

10. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

11. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

Cho  a + b + c = a² + b² + c² = 1 và\(\dfrac{x}{a}\)=\(\dfrac{y}{b}\)=\(\dfrac{z}{c}\)( a≠0,b≠0,c≠0 )

Chứng minh rằng (x+y+z)²=x²+y²+z²

^{Giúp mình với ạ, mai mình thi rồi !!!!}

Câu 1. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Câu 2. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

b) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

c) (a₁ + a₂ + ….. + a_n)² ≤ n(a₁² + a₂² + ….. + a_n²).

Câu 3. Cho a³ + b³ = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.

Câu 4. Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x² + y² biết x + y = 4.

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.

Câu 7. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:

a) ab và a/b là số vô tỉ.

b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a² và b² là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

Câu 8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a³ + b³ + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 9. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1

Câu 10. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.

--------------------------làm đầy đủ nha ^_^--------------------------------------------------------