Question

Chứng minh: a⁵-a chia hết cho 30 với a\(\in Z\)

Chứng minh rằng: x⁵-x+2 không là số chính phương với mọi x\(\in Z\)

Chứng minh rằng nếu a,b, c là các số hữu tỉ và ab+bc+ac=1 thì (1+a²)(1+b²)(1+c²) bằng bình phương của số hữu tỉ

Answer 1

\(A=a^5-a=a.\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)=B\left(a^2+1\right)\)B là 3 số tự nhiên liên tiếp \(\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\\B⋮6\end{matrix}\right.\) ta cần c/m A chia cho 5

\(A=B\left(n^2+1\right)=B\left[\left(n^2-4\right)+5\right]=B\left(n^2-2^2\right)=B\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5B=C+5B\)C là tích 5 số tự nhiên liên tiếp: \(\left\{{}\begin{matrix}C⋮5\\5B⋮5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A⋮5\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A⋮5\\A⋮6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A⋮30\) => dpcm