theo đầu bài ta có\(\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{10}{3}\)=>\(3x^2+3y^2=10xy\)

A=\(\dfrac{x-y}{x+y}\)

=>\(A^2=\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right)^2=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{3x^2-6xy+3y^2}{3x^2+6xy+3y^2}=\dfrac{10xy-6xy}{10xy+6xy}=\dfrac{4xy}{16xy}=\dfrac{1}{4}\)

=>A=\(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{-1}{2}hoặc\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\) (cộng trừ căn 1/4 nhé)

vì y>x>0=> A=-1/2

\(A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{x^2+y^2}{4xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}+\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{4xy}\)

\(A\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x^2+y^2\right)xy}{4xy\left(x^2+y^2\right)}}+\dfrac{3.2xy}{4xy}=\dfrac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

\(C=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}-4\)

\(C=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{8xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{5\left(x+y\right)^2}{8xy}-4\)

\(C\ge2\sqrt{\dfrac{18xy\left(x+y\right)^2}{8xy\left(x+y\right)^2}}+\dfrac{5.4xy}{8xy}-4=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

a: \(=\dfrac{3}{2}\sqrt{6}+\dfrac{2}{3}\sqrt{6}-2\sqrt{3}=\dfrac{13}{6}\sqrt{6}-2\sqrt{3}\)

b: \(VT=\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\cdot\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\)

c: \(VT=\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}\)

\(=\dfrac{y-x}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}=\dfrac{-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

Ta có bất đẳng thức $a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2}

$⇔2.(a^2+b^2) \geq (a+b)^2$

$⇔(a-b)^2 \geq 0$ (đúng)

Áp dụng bất đẳng thức trên cho $\dfrac{x}{y}$ và $\dfrac{y}{x}$ có:

$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} $

$\geq \dfrac{(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2}{2}$

Hay $2.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) có:

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 2.\sqrt[]{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2$

Nên $(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}).(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}) \geq 2.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

Hay $ (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2  \geq 2.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

Suy ra $2.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \geq 2.(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})$

Hay $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \geq (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})(đpcm)$

Dấu $=$ xảy ra $⇔x=y$

Đề bài sai, đề đúng thì phân thức đằng sau dấu chia phải là:

\(\dfrac{4x^4+4x^2y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\)

a) \(A=\dfrac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+2\sqrt{xy}+y}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

b) \(B=\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{x-2\sqrt{xy}+y}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)

c) \(C=\dfrac{3\sqrt{a}-2a-1}{4a-4\sqrt{a}+1}\)

\(C=\dfrac{-\left(2a-3\sqrt{a}+1\right)}{\left(2\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\cdot2\cdot1+1^2}\)

\(C=\dfrac{-\left(\sqrt{a}-1\right)\left(2\sqrt{a}-1\right)}{\left(2\sqrt{a}-1\right)^2}\)

\(C=\dfrac{-\sqrt{a}+1}{2\sqrt{a}-1}\)

d) \(D=\dfrac{a+4\sqrt{a}+4}{\sqrt{a}+2}+\dfrac{4-a}{\sqrt{a}-2}\)

\(D=\dfrac{\left(\sqrt{a}+2\right)^2}{\sqrt{a}+2}+\dfrac{\left(2-\sqrt{a}\right)\left(2+\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}-2}\)

\(D=\sqrt{a}+2-\dfrac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\sqrt{a}-2}\)

\(D=\left(\sqrt{a}+2\right)-\left(\sqrt{a}+2\right)\)

\(D=0\)

ối lắm thế :((

3.

a/ Giả sử đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là k

=> y = k/x

Thay x = 8 ; y = 15 vào ct y = k/x ta có

\(\dfrac{k}{8}=15\Rightarrow k=120\)

Thay \(k=120\) vào ct \(y=\dfrac{k}{x}\) ta có

\(y=\dfrac{120}{x}\)

b/ Thay x = 6 vào ct \(y=\dfrac{120}{x}\) ta có

\(y=\dfrac{120}{6}=20\)

Thay x = - 10 vào ct \(y=\dfrac{120}{x}\) ta có

\(y=\dfrac{120}{-10}=-12\)

b/ Thay y = 2 vào ct \(y=\dfrac{120}{x}\) ta có

\(2=\dfrac{120}{x}\Rightarrow x=60\)

Thay y = - 30 vào ct \(y=\dfrac{120}{x}\) ta có

\(-30=\dfrac{120}{x}\Rightarrow x=-4\)

4/

a/ Giả sử đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là k

=> y = xk

Thay y = 4 ; x = 6 vào ct y = xk ta có

\(4=6k\Rightarrow k=\dfrac{2}{3}\)

Thay \(k=\dfrac{2}{3}\) vào ct y = xk ta có

\(y=\dfrac{2}{3}x\)

b/ Thay x = 9 vào ct \(y=\dfrac{2}{3}x\)  ta có

\(y=\dfrac{2}{3}.9=6\)

Thay y = - 8 vào ct \(y=\dfrac{2}{3}x\) ta có

\(-8=\dfrac{2}{3}x\Rightarrow x=-12\)

bài 3 bạn chỉ cần áp dụng tính chất thôi

ĐKXĐ: \(...\)

\(P=\dfrac{2}{x}-\left(\dfrac{x^2}{x\left(x+y\right)}-\dfrac{y^2}{y\left(x+y\right)}+\dfrac{y^2-x^2}{xy}\right).\dfrac{x+y}{x^2+xy+y^2}\)

\(P=\dfrac{2}{x}-\left(\dfrac{x-y}{x+y}-\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{xy}\right).\dfrac{x+y}{x^2+xy+y^2}\)

\(P=\dfrac{2}{x}-\left(\dfrac{1}{x+y}-\dfrac{x+y}{xy}\right)\dfrac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}\)

\(P=\dfrac{2}{x}-\dfrac{-\left(x^2+xy+y^2\right)}{xy\left(x+y\right)}.\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x^2+xy+y^2}\)

\(P=\dfrac{2}{x}+\dfrac{x-y}{xy}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)

b/ \(x^2+y^2+10=2x-6y\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2+6y+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)