Đặt \(A=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có:

\(a^2+b^2\ge2.\sqrt{a^2.b^2}=>a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+1\ge2.\sqrt{b^2.1}=>b^2+1\ge2b\)

=>\(a^2+b^2+b^2+1\ge2ab+2b\)

=>\(a^2+2b^2+1+2\ge2ab+2b+2\)

=>\(a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2\)

=>\(a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

=>\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2.\left(ab+b+1\right)}\)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2.\left(bc+c+1\right)}\)

\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2.\left(ca+a+1\right)}\)

=>\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2.\left(ab+b+1\right)}+\frac{1}{2.\left(bc+c+1\right)}+\frac{1}{2.\left(ca+a+1\right)}\)

=>\(A\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{ca+a+1}\)

=>\(A\le\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

=>\(A\le\frac{1}{2}.\left(\frac{ca}{ca.\left(ab+b+1\right)}+\frac{a}{a.\left(bc+c+1\right)}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

=>\(A\le\frac{1}{2}.\left(\frac{ca}{abc.c+abc+ca}+\frac{a}{abc+ca+a}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Vì abc=1(theo giả thiết)

=>\(A\le\frac{1}{2}.\left(\frac{ca}{c+1+ca}+\frac{a}{1+ca+a}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

=>\(A\le\frac{1}{2}.\left(\frac{ca}{ca+a+1}+\frac{a}{ca+a+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

=>\(A\le\frac{1}{2}.\frac{ca+a+1}{ca+a+1}\)

=>\(A\le\frac{1}{2}.1\)

=>\(A\le\frac{1}{2}\)

=>\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)

=>ĐPCM

vâng ạ 

Bài đây mình đã giải trong câu hỏi tương tự ấy! Bạn vào xem nhé! Tách lần lượt các hạng tử ở các mẫu của vế trái BPT để quy về dạng có thể sử dụng BĐT AM - GM cho các số không âm. Cứ thế là đường ta ta đi.... Kakaka. Đặt biến phụ chẳng hạn, đây là đặc trưng của cách thứ hai. Cách thứ ba thì đang thử nghiệm thử có an toàn không đã. 

Câu 1 :

Ta có  \(\frac{1}{2}a=\frac{2}{3}b=\frac{3}{4}c\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{2b}{3}=\frac{3c}{4}\)

Đặt : \(\frac{a}{2}=\frac{2b}{3}=\frac{3c}{4}=k\)

\(\Rightarrow a=2k;b=\frac{3k}{2};c=\frac{4k}{3}\)

Do : \(a-b=15\)

\(\Rightarrow2k-\frac{3k}{2}=\frac{k}{2}=5\)

\(\Rightarrow k=5.2=10\)

\(\Rightarrow a=2.10=20\)

\(\Rightarrow b=\frac{3.10}{2}=15\)

\(\Rightarrow c=\frac{40}{3}\)

BÀI 2 mak k bt(viết cái đề cx sai nói gì làm!):

\(\left(2008\cdot a+3b+1\right)\left(2008^a+2008a+b\right)=225\)

=> cả 2 thừa số đều lẻ.

=>\(2018^a+2018a+b\)là số lẻ        (1)

Với a khác 0,từ (1) suy ra:

b lẻ.

=>3b+1  chẵn

=>2008a+3b+1 chẵn(loại)

=>a=0,thay vào đề bài,ta có:

(3b+1)(b+1)=225=3*75= 5*45=9*25

do 3b+1>b+1 và 3b+1 không chia hết cho 3

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3b+1=25\\b+1=9\end{cases}\Rightarrow}b=8\)

vậy:a=0,b=8

Ta có : \(\left(2008a+3b+1\right)\left(2018^a+2018a+b\right)=225\)

TH1 : a khác 0 \(\Rightarrow\left(2008a+3b+1\right)\)và \(\left(2018^a+2018a+b\right)\)là 2 số lẻ

Do : \(2018^a+2018a+b\)là số lẻ nên : \(b\)là số lẻ

Khi đó : \(3b\)là số lẻ

\(\Rightarrow3b+1\)chẵn , mà \(2018^a\)chẵn

\(\Rightarrow2018a+3b+1\)chắn ( KTM )

Vậy a = 0

\(\Rightarrow\left(3b+1\right)\left(b+1\right)=225\)

Do : \(b\in N\), suy ra : \(\left(3b+1\right)\left(b+1\right)=3.75=5.45=9.25\)

Mà  3b +1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1

\(\Rightarrow\left(3b+1\right)\left(b+1\right)=25.9\)

Do : \(b+1=9\)

\(\Rightarrow b=9-1=8\)

Vậy : \(a=0;b=8\)

phần vết ở chỗ nào đấy

là sao

Là đương nhiên hai biểu thức trên bằng nhau , giống nhau y hệt

hay

Với x, y là các số thực dương bất kì, theo BĐT Cô-si. Ta có:

\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{\frac{1}{xy}}=4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Áp dụng BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)

Tương tự \(\frac{bc}{a+1}\le\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

\(VT\left(1\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ab+cb}{c+a}+\frac{cb+ca}{a+b}\right)=\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{4}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

P/s: Bạn nói đúng, lớp 6 giải được rồi! Như mình nè , có điều không chắc thôi! =)))

Bài 1. Từ giả thiết suy ra 1-a = b+c và áp dụng \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) 

Ta có : \(4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=4\left(b+c\right)\left(1-c\right)\left(1-b\right)\le\left[\left(b+c\right)+\left(1-c\right)\right]^2\left(1-b\right)\)

\(=\left(b+1\right)^2\left(1-b\right)=\left(b+1\right)\left(1-b^2\right)=-b^2\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\le b+1=a+2b+c\)