Cho các số thực dương a,b thỏa mãn a+b = 4ab. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{4b^2+1}\)+\(\dfrac{b}{4a^2+1}\)≥\(\dfrac{1}{2}\)
Cho các số thực dương a,b thỏa mãn a+b = 4ab. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4a^2b}{4b^2+1}\)
\(\ge a-\dfrac{4ab^2}{4b}+b-\dfrac{4a^2b}{4a}\) (bđt Cô-si)
=a-ab+b-ab=a+b-2ab=4ab-2ab=2ab
Lại có a+b=4ab \(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a-\dfrac{a}{4b^2+1}+b-\dfrac{b}{4a^2+1}\le a+b-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{4ba^2}{4a^2+1}\le4ab-\dfrac{1}{2}\)
\(\sum\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\le^{CS}2ab\)
\(\Rightarrow CM:2ab\le4ab-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
Từ GT \(\Rightarrow4ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Các Ctv hoặc các giáo viên helpp ạ
Cho a,b,c là số thực dương không âm thỏa mãn
Cho a,b,c là số thực dương không âm thỏa mãn \(a+b+c=1\) . Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}>10\)
Cho hai số dương a,b thỏa mãn a + 2b = 1. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{ab}\) + \(\dfrac{3}{a^2+4b^2}\) ≥ 14
\(VT=3\left(\dfrac{1}{4ab}+\dfrac{1}{a^2+4b^2}\right)+\dfrac{1}{2.a.2b}\ge\dfrac{12}{a^2+4ab+4b^2}+\dfrac{2}{\left(a+2b\right)^2}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\)
Chứng minh \(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)
10. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge\dfrac{4a}{a+c}\)
11.Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{bc}{b+c+2a}+\dfrac{ca}{a+c+2b}\le\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
11/Theo BĐT AM-GM,ta có; \(ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT kia,cộng theo vế và rút gọn ta được đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi a= b=c
Ơ vãi,em đánh thiếu abc dưới mẫu,cô xóa giùm em bài kia ạ!
9/ \(VT=\frac{\Sigma\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8+abc+\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\le\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+9+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}=1\left(Q.E.D\right)\)
"=" <=> a = b = c = 1.
Mong là lần này không đánh thiếu (nãy tại cái tội đánh ẩu)
10/Thêm \(\frac{b}{a}-2\) ở mỗi vế ta cần chứng minh:
\(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{b}{c}\ge\frac{4a}{a+c}+\frac{b}{a}-2\) (vận dùng đẳng thức \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\))
\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a-b\right)^2+ab^2}{abc}\ge\frac{4a^2+ab+bc-2a\left(a+c\right)}{a\left(a+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a-b\right)^2+ab^2}{abc}\ge\frac{2a^2+a\left(b-c\right)+c\left(b-a\right)}{a\left(a+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(c\left(a-b\right)^2+ab^2\right)\left(a+c\right)}{abc\left(a+c\right)}-\frac{\left(2a^2+a\left(b-c\right)+c\left(b-a\right)\right)bc}{abc\left(a+c\right)}\ge0\)
Em làm tắt tiếp:v
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(ac^2+b^2c+ca^2+ab^2-4abc\right)}{abc\left(a+c\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(ac^2+b^2c+ca^2+ab^2-4abc\right)}{bc\left(a+c\right)}\ge0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta được: \(VT\ge\frac{4\sqrt[4]{\left(abc\right)^4}-4abc}{bc\left(a+c\right)}=\frac{0}{bc\left(a+c\right)}=0\)
Ta có Q.E.D.
P/s: Đúng không ta? Mà sao có người tk sai nhỉ?
Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: (a+1)(b+1)=4ab. Tìm GTLN của
P=\(\dfrac{1}{\sqrt{3a^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3b^2+1}}\)
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4ab\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+1\right)\left(\dfrac{1}{b}+1\right)=4\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-x-y\)
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+3}}\le\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{\left(x+3\right)^2}{4}}}+\dfrac{y}{\sqrt{\dfrac{\left(y+3\right)^2}{4}}}=\dfrac{2x}{x+3}+\dfrac{2y}{y+3}\)
\(P\le\dfrac{4xy+6x+6y}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}=\dfrac{4xy+6x+6y}{xy+3x+3y+9}=\dfrac{4\left(3-x-y\right)+6x+6y}{3-x-y+3x+3y+9}=\dfrac{2x+2y+12}{2x+2y+12}=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(x=y=1\) hay \(a=b=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\ge\dfrac{1}{2}\)
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\Rightarrow xyz=1\)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)
\(P=\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(y^2+z^2\right)+\left(z^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(z^2+x^2\right)+\left(x^2+1\right)+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{xz\left(xy+y+1\right)}+\dfrac{x}{x\left(yz+z+1\right)}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x.xyz+xyz+xz}+\dfrac{x}{xyz+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x+1+xz}+\dfrac{x}{1+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là số thực dương không âm thỏa mãn \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}>10\)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{2a-1}+\dfrac{1}{2b-1}+\dfrac{1}{2c-1}+\dfrac{4ab}{ab+1}+\dfrac{4bc}{bc+1}+\dfrac{4ac}{ac+1}\ge9\)
\(VT\ge\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)-1}+\dfrac{1}{\left(b^2+1\right)-1}+\dfrac{1}{\left(c^2+1\right)-1}+4-\dfrac{4}{ab+1}+4-\dfrac{4}{bc+1}+4-\dfrac{4}{ca+1}\)
\(VT\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{4}{ab+1}-\dfrac{4}{bc+1}-\dfrac{4}{ca+1}+12\)
Mặt khác \(a;b;c\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab+1\ge a+b\) (và tương tự...)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}-\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{4}{b+c}-\dfrac{4}{c+a}+12\)
\(VT\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)^2}-\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{4}{b+c}-\dfrac{4}{c+a}+1+1+1+9\)
\(VT\ge\left(\dfrac{2}{a+b}-1\right)^2+\left(\dfrac{2}{b+c}-1\right)^2+\left(\dfrac{2}{c+a}-1\right)^2+9\ge9\)
choa, b, c dương thỏa mãn \(a+b+c=\dfrac{3}{2}\). Tìm GTNN của \(P=\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4a^2}\)
Chắc là bạn ghi nhầm mẫu số cuối cùng
\(\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{1+4a^2}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{4a}=1+b-a\left(1+b\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(1+c\right)\) ; \(\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(1+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge3+a+b+c-\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)