Ta có x3+ax+bx3+ax+b chia x+1x+1 dư 7.
Suy ra x3+ax+b=Q(x).(x+1)+7x3+ax+b=Q(x).(x+1)+7
Với x=−1x=−1 thì f(−1)=b−a−1=7⇒b−a=8⇒b=a+8f(−1)=b−a−1=7⇒b−a=8⇒b=a+8.
Lại có x3+ax+b=H(x).(x−3)−5x3+ax+b=H(x).(x−3)−5.
Với x=3x=3 thì f(3)=27+3a+b=−5⇒3a+b=−22f(3)=27+3a+b=−5⇒3a+b=−22.
Thay vô ta Tim được a,b

Cậu chú ý mũ nha , tớ không viết kịp

Ta phân tích thành

\(x^3+ax+b=\left(x+1\right)\left(x^2-x+a+1\right)+b-a-1\)

Và \(x^3+ax+b=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+a+4\right)+b+2a+8\)

Kết hợp với đề bài ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}b-a-1=7\\b+2a+8=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-4\\b=4\end{cases}}}\)

\(x^3+ax+b\\ =x^3+x^2-x^2-x+x+ax+b\\ =x^2\left(x+1\right)-x\left(x+1\right)+7+\left(a+1\right)x+\left(b-7\right)\)

Ta có: \(x^2\left(x+1\right)-x\left(x+1\right)+7\) chia \(\left(x+1\right)\) dư 7

\(\Rightarrow\left(a+1\right)x+\left(b-7\right)\) chia hết cho \(\left(x+1\right)\)

Đến đây, đồng nhất hệ số ta được: \(a+1=1\) và \(b-7=1\)

\(\Rightarrow a=0\) và \(b=8\)

Để x 3 + ax + b chia cho x + 1 dư 7 thì b – a – 1 = 7 ó -a + b = 8 (1)

Để x 3 + ax + b chia cho x – 3 dư -5 thì b + 3a + 27 = -5 ó 3a + b = -32 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ - a + b = 8 3 a + b = - 32 ó  a = - 10 b = - 2

Vậy a = -10, b = -2

Đáp án cần chọn là: C

Bài 1:

Đặt \(a=\sqrt[7]{\dfrac{3}{5}};b=\sqrt[7]{\dfrac{5}{3}}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\ab=1\end{matrix}\right.\)

Ta có \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=x\left(x^2-3\right)=x^3-3x\)

Ta có \(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2\left(ab\right)^2=\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]^2-2\left(ab\right)^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4=\left(x^2-2\right)^2-2=x^4-4x^2+2\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a^4+b^4\right)=\left(x^3-3x\right)\left(x^4-4x^2+2\right)\\ =x^7-3x^5-4x^5+12x^3+2x^3-6x\\ =x^7-7x^5+14x^3-6x\)

Lại có \(\left(a^4+b^4\right)\left(a^3+b^3\right)=a^7+b^7+\left(ab\right)^3\left(a+b\right)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{5}{3}+x=\dfrac{34}{15}+x\)

\(\Rightarrow x^7-7x^5+14x^3-6x=\dfrac{34}{15}+x\\ \Rightarrow15x^7-105x^5+210x^3-105x-34=0\left(1\right)\)

Vậy (1) nhận \(x=\sqrt[7]{\dfrac{3}{5}}+\sqrt[7]{\dfrac{5}{3}}\) làm nghiệm

Bài 2 đa thức bậc 2 chia đa thức bậc 2 dư đa thức bậc 1 ??

Áp định lí Bezu (Bài 2)

Câu 1.

Tìm a,b để \(x^3+ax+b\)chia \(x+1\)dư 7 và chia cho \(x-3\)dư -5.

Thương của phép chia đa thức bậc 3 \(x^3+ax+b\)cho \(x+1\)là 1 đa thức bậc 2 có hệ số bậc 2 bằng 1, tổng quát ở dạng: \(x^2+mx+n\).Số dư của phép chia này là 7 nên ta có:

\(x^3+ax+b=\left(x+1\right)\left(x^2+mx+n\right)+7\mid\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow x^3+ax+b=x^3+\left(m+1\right)x^2+\left(m+n\right)x+n+7\mid\forall x\in R\)

Để 2 đa thức này bằng nhau với mọi x thuộc R thì hệ số các bậc phải bằng nhau. Đồng nhất chúng ta có:

\(\hept{\begin{cases}m+1=0\\m+n=a\\n+7=b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=-1\\n=a+1\\b=a+1+7\end{cases}\Rightarrow}b=a+8\mid\left(1\right)}\)

Tương tự với phép chia \(x^3+ax+b\)cho \(x-3\)dư -5.

\(x^3+ax+b=\left(x-3\right)\left(x^2+px+q\right)-5\mid\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow x^3+ax+b=x^3+\left(p-3\right)x^2+\left(q-3p\right)x-\left(3q+5\right)\mid\forall x\in R\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}p-3=0\\q-3p=a\\-\left(3q+5\right)=b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}p=3\\q=a+9\\b=-\left(3\left(a+9\right)+5\right)\end{cases}\Rightarrow}b=-3a-32\mid\left(2\right)}\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\hept{\begin{cases}b=a+8\\b=-3a-32\end{cases}\Rightarrow a+8=-3a-32\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-10\\b=-2\end{cases}}}\)

Vậy với \(a=-10;b=-2\)thì đa thức đã cho trở thành  \(x^3-10x-2\)chia cho \(x+1\)dư 7 và chia cho \(x-3\)dư -5.Viết kết quả các phép chia này ta được:

\(\hept{\begin{cases}x^3-10x-2=\left(x+1\right)\left(x^2-x-9\right)+7\\x^3-10x-2=\left(x-3\right)\left(x^2+3x-1\right)-5\end{cases}\mid\forall x\in R}\)​