Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H hạ đường cao xuống AB và AC theo thứ tự E và F. Chứng minh AH3 = BE . CF . BC
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua AB và AC .
a/ Chứng minh : A là trung điểm của EF
b/ Chứng minh : BC = BE + CF
a) Vì D là điềm đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của DH
suy ra AH=AD (1)
Vì E đối xứng với H qua AC nên AC là đường trung trực của HE
suy ra AH=AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD=AE (3)
Mặt khác ^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE và ^BAH+^HAC=90*
do đó ^DAB+^BAH+ ^HAC+^CAE=180*
tức là D, A, E thẳng hàng (4)
từ (3) và (4) suy ra D và E đối xứng với nhau qua A.
b) Tam giác DHE có HA là trung tuyến và HA= 1/2 DE
nên tam giác DHE vuông tại H.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC. M là điểm đối xứng với H qua E. Từ B kẻ BI vuông góc BC (I thuộc AM). Chứng minh rằng: AH, EF và CI đồng quy
Bạn tự vẽ hình. Gợi ý:
- Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
*Gọi K là giao điểm của AH và EF. Khi đó K là trung điểm AH.
- Chứng minh tam giác AHM cân tại A. Suy ra \(\widehat{MAB}=\widehat{HAB}\)
Mặt khác \(\widehat{HAB}=\widehat{ABI}\) (BI//AH) \(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{ABI}\)
\(\Rightarrow\)△ABI cân tại I nên AI=BI.
*CA cắt BI tại S. Chứng minh I là trung điểm BS.
Đến đây bài toán đã trở nên đơn giản hơn (chỉ chú ý vào các điểm C,A,H,B,S và K).
- CK cắt BS tại I'. Khi đó ta cũng c/m được I' là trung điểm BS.
\(\Rightarrow I\equiv I'\) nên C,K,I thẳng hàng.
Suy ra đpcm.
cho tam giác abc vuông tại a. Đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC. Kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC. Chứng minh rằng AM vuông góc với EF
(3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 5cm, AC 12cm. Kẻ dường cao AHHBC
, tia phân giác của A BC cắt AC tại D.
a) Chứng minh tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng.
b) Gọi K là giao điểm của AH và BD. Tính độ dài AD, AK.
c) Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB, AC. Chứng minh rằng:
3
3
AB BE
AC CF
.
Bài
Cho tam giac ABC vuông tại A có đường cao AH biết AB = 60cm, BH = 36cm.
a) Tính BC, AH, AC.
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H xuống AB, AC. Chứng minh: AH3 = BE.CF.BC
\(a,\) Áp dụng HTL tam giác
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AH^2=BH\cdot HC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{3600}{36}=100\left(cm\right)\\AH=\sqrt{36\left(100-36\right)}=\sqrt{36\cdot64}=6\cdot8=48\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=80\left(cm\right)\left(pytago\right)\)
\(b,\) Áp dụng HTL trong tam giác ABC,AHB và AHC, ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}AB\cdot AC=AH\cdot BC\\BH^2=AB\cdot BE\\CH^2=AC\cdot CF\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=\dfrac{AB\cdot AC}{AH}\\BE=\dfrac{BH^2}{AB}\\CF=\dfrac{CH^2}{AC}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow BE\cdot CF=\dfrac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{AB\cdot AC}=\dfrac{AH^4}{AB\cdot AC}\left(AH^2=BH\cdot HC\right)\\ \Rightarrow BE\cdot CF\cdot BC=\dfrac{AB\cdot AC}{AH}\cdot\dfrac{AH^4}{AB\cdot AC}=AH^3\left(Đpcm\right)\)
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) vẽ đường tròn tâm O có đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F ,gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D. Gọi I là trung điểm AH
a. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và AD vuông góc BC
b. Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, E, I, F cùng thuộc một đường tròn
C. cho biết BC = 6 cm và góc A = 60 độ Tính độ dài OI
Sửa đề: BF và CE cắt nhau tại H
a) Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C\(\in\)(O))
BC là đường kính(gt)
Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)
\(\Leftrightarrow CE\perp BE\)
\(\Leftrightarrow CE\perp AB\)
\(\Leftrightarrow\widehat{AEC}=90^0\)
hay \(\widehat{AEH}=90^0\)
Xét (O) có
ΔBFC nội tiếp đường tròn(B,F,C\(\in\)(O))
BC là đường kính(gt)
Do đó: ΔBFC vuông tại F(Định lí)
\(\Leftrightarrow BF\perp CF\)
\(\Leftrightarrow BF\perp AC\)
\(\Leftrightarrow\widehat{AFB}=90^0\)
hay \(\widehat{AFH}=90^0\)
Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}\) và \(\widehat{AFH}\) là hai góc đối
\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Xét ΔABC có
BF là đường cao ứng với cạnh AC(cmt)
CE là đường cao ứng với cạnh AB(cmt)
BF cắt CE tại H(gt)
Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)
\(\Leftrightarrow AH\perp BC\)
hay \(AD\perp BC\)(đpcm)
Tam giác ABC vuông tại A, có AB= 5cm , AC= 12cm . Kẻ đường cao AH, tia phân giác góc ABC cắt AC tại D.Gọi E,F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB, AC. Chứng minh AB3/ AC3=BE/CF
Cho tam giác ABC vuông tại A AB bé hơn AC đường cao ah Gọi M là trung điểm của AC và E,F là chân đường vuông góc hạ Từ H xuống AB và AC qua H kẻ đường thẳng vuông Góc với HM cắt AB tại N
a,Chứng minh rằng bốn điểm A,N,H,M cùng thuộc đường tròn và N là trung điểm của AB
b,Chứng minh rằng AH MN EF cùng đi qua một điểm
c,Chứng minh rằng AB^3/BE=AC^3/CF
a/
Ta có
\(\widehat{A}=90^o;\widehat{MHN}=90^o\) => A và H cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông nên A; H thuộc đường tròn đường kính MN => A; M; H; N cùng thuộc 1 đường tròn
Xét tg vuông AHC có
\(MA=MC\Rightarrow HM=MA=MC=\dfrac{AC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
=> tg AMH cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{MHA}\)
Mà
\(\widehat{NAH}+\widehat{MAH}=\widehat{A}=90^o\)
\(\widehat{NHA}+\widehat{MHA}=\widehat{MHN}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) => tg NAH cân tại N => NA=HN (1)
Xét tg vuông ABH có
\(\widehat{NAH}+\widehat{B}=90^o\)
\(\widehat{NHA}+\widehat{NHB}=\widehat{AHB}=90^o\)
Mà \(\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{NHB}\) => tg BHN cân tại N => NB=HN (2)
Từ (1) và (2) => NA=NB => N là trung điểm AB
b/
Ta có
NA=NB (cmt); MA=MC (gt) => MN là đường trung bình của tg ABC
=> MN//BC
Gọi O là giao của MN với AH. Xét tg ABH có
MN//BC => NO//BH
NA=NB (cmt)
=> OA=OH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) => O à trung điểm AH
Ta có
\(HE\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HE//AC => HE//AF
\(HF\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\left(gt\right)\) => HF//AB => HF//AN
=> AEHF là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Gọi O' là giao của EF với AH => O'A=O'H (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => O' là trung điểm của AH
Mà O cũng là trung điểm của AH (cmt)
=> \(O'\equiv O\) => AH; MN; EF cùng đi qua O
Cho tam giac ABC vuông tại A đường cao AH gọi E F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. Chứng minh rằng
a)AEHF là hình chữ nhật
b) \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)