Xét pt hai : \(x^3+y^3=x^2+y^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2=x^2+y^2\Leftrightarrow xy=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\y=0\end{array}\right.\)

Nếu x = 0 thì y = 1

Nếu y = 0 thì x = 1

Ta có : \(\begin{cases}x+y=5\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x+y=5\\x^2+y^2=xy\end{cases}\)

Từ \(x+y=5\Rightarrow x^2+y^2=5^2-2xy\) thay vào pt còn lại : 

\(25=3xy\Rightarrow xy=\frac{25}{3}\)

Suy ra hệ mới : \(\begin{cases}x+y=5\\xy=\frac{25}{3}\end{cases}\)

Ta đã đưa về hệ pt đối xứng loại I , bạn tự giải nhé :)

\(\hept{\begin{cases}\frac{x+2}{x+1}+\frac{2}{y-2}=6\\\frac{5}{x+1}-\frac{1}{y-2}=3\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+1}+\frac{2}{y-2}=5\\\frac{5}{x+1}-\frac{1}{y-2}=3\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+1}=1\\\frac{1}{y-2}=2\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=\frac{5}{2}\end{cases}}\)

*) Hệ phương trình trên gọi là hệ phương trình đẳng cấp ( Bậc của vế trái mỗi phương trình trong hệ  đều bằng nhau, bằng 2)

Cách giải giống câu trước:

+)  y = 0 không là nghiệm của  pt trong hệ . Do đó, chia cả 2 vế của pt cho y²

Giải:

HPT <=>

 \(17\left(3x^2+2xy+y^2\right)=187\)

\(11\left(x^2+2xy+3y^2\right)=187\)
=> 17(3x² + 2xy + y²) = 11.(x² + 2xy + 3y²)

<=> 51x² + 34xy + 17y² = 11x² + 22xy + 33y²

<=> 40x² + 12xy -16y² = 0 .

<=> 10x² + 3xy - 4y² = 0. Chia cả 2 vế của pt cho y² ta được

\(10\left(\frac{x}{y}\right)^2+3\left(\frac{x}{y}\right)-4=0\)(*)

\(\Delta\) = 169 => PT (*) có nghiệm là x/y = 1/2 ; x/y = -4/5

+) x/y = 1/2 => y = 2x. Thế vào PT thứ nhất của hệ ta được: 3x² + 4x² + 4x² = 11 => x² = 1 => x = 1 hoặc x = -1

=> y = 2 hoặc y = -2

+) x/y = -4/5 : Giải tương tự

\(\hept{\begin{cases}2x+\left(3-2xy\right)y^2=3\left(1\right)\\2x^2-x^3y=2x^2y^2-7xy+6\left(2\right)\end{cases}}\)

Biến đổi (2), ta được: \(\left(xy-2\right)\left(2xy-3+x^2\right)=0\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}xy-2=0\\2x+\left(3-2xy\right)y^2=3\Leftrightarrow\end{cases}\hept{\begin{cases}xy=2\\2x-y^2-3=0\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{y^2+3}{2}\\\frac{\left(y^2+3\right)y}{2}=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{y^2+3}{2}\\y^3+3y-4=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{y^2+3}{2}\\\left(y-1\right)\left(y^2+y+4\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}2xy-3+x^2=0\\2x+\left(3-2xy\right)y^2=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3-2xy=x^2\\2x+x^2y^2=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=\frac{3-x^2}{2}\\2x+\frac{\left(3-x^2\right)^2}{4}-3=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}xy=\frac{3-x^2}{2}\\x^4-6x^2+8x-3=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=\frac{3-x^2}{2}\\\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}}\)

Vậy \(S=\left\{\left(2;1\right);\left(1;1\right);\left(-3;1\right)\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2xy+3y^2=9\\2x^2+2xy+y^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2+2y^2=9\\\left(x+y\right)^2+x^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y^2-x^2=9\\\left(x+y\right)^2+x^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=2y^2-9\\2y^2-9+2y\sqrt{2y^2-9}+y^2+2y^2-9=2\left(\circledast\right)\end{matrix}\right.\)

giải phương trình \(\left(\circledast\right)\)

\(\Leftrightarrow5y^2-20+2y\sqrt{2y^2-9}=0\)

giải phương trình ta tìm được y, thay vào để tìm x

P/s : Tớ biết đây không phải cách tối ưu nhất đâu, thông cảm nhé :_>