Chứng minh đẳng thức :
\(xy'=y\left(y\ln x-1\right)\) với \(y=\ln\left(\frac{1}{1+x+\ln x}\right)\)
Cho \(y=\frac{1}{1+x+\ln x}\), chứng minh hệ thức \(xy'=y\left(y\ln x-1\right)\)
Ta có : \(y'=\frac{-1-\frac{1}{x}}{\left(1+x+\ln x\right)^2}=-\frac{x+1}{x\left(1+x+\ln x\right)^2}\)
\(\Rightarrow xy'=-\frac{x+1}{\left(1+x+\ln x\right)^2}\) (1)
Lại có \(y\left(y\ln x-1\right)=\frac{-1-x}{\left(1+x+\ln x\right)^2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(xy'=y\left(y\ln x-1\right)\)
Chứng minh đẳng thức :
\(xy'+1=e^y\) với \(y=\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)\)
Ta có : \(y=\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)\Rightarrow y'=\frac{-\frac{1}{\left(1+x\right)^2}}{\frac{1}{1+x}}=\frac{-1}{1+x}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}xy'+1=\frac{-x}{1+x}+1=\frac{1}{1+x}\\e^y=e^{\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)}=\frac{1}{1+x}\end{cases}\)
\(\Rightarrow xy'+1=e^y\) (điều phải chứng minh)
Chứng minh đẳng thức :
\(y+xy'+x^2y"=0\) với \(y=\sin\left(\ln x\right)+\cos\left(\ln x\right)\)
Ta có : \(y=\sin\left(\ln x\right)+\cos\left(\ln x\right)\Rightarrow\begin{cases}y'=\frac{1}{x}\cos\left(\ln x\right)-\frac{1}{x}\sin\left(\ln x\right)=\frac{\cos\left(\ln x\right)-\sin\left(\ln x\right)}{x}\\y"=\frac{\left[-\frac{1}{x}\sin\left(\ln x\right)-\frac{1}{x}\cos\left(\ln x\right)\right]x-\left[\cos\left(\ln x\right)-\sin\left(\ln x\right)\right]}{x^2}=\frac{-2\cos\left(\ln x\right)}{x^2}\end{cases}\)
\(\Rightarrow y+xy'+x^2y"=\sin\left(\ln x\right)+\cos\left(\ln x\right)+\cos\left(\ln x\right)-\sin\left(\ln x\right)-2\cos\left(\ln x\right)=0\)
=> Điều cần chứng minh
Chứng minh đẳng thức :
\(2x^2y'=x^2y^2+1\) với \(y=\frac{1+\ln x}{x\left(1-\ln x\right)}\)
Ta có \(y'=\frac{\frac{1}{x}x\left(1-\ln x\right)-\left[1-\ln x+x\left(-\frac{1}{x}\right)\right]\left(1+\ln x\right)}{x^2\left(1-\ln x\right)^2}=\frac{1-\ln x+\ln x\left(1+\ln x\right)}{x^2\left(1-\ln x\right)^2}=\frac{1+\ln^2x}{x^2\left(1-\ln x\right)^2}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}2x^2y'=2x^2\frac{1+\ln^2x}{x^2\left(1-\ln x\right)^2}=\frac{2\left(1+\ln^2x\right)}{\left(1-\ln x\right)^2}\\x^2y^2+1=x^2\frac{1+\ln^2x}{x^2\left(1-\ln x\right)^2}+1=\frac{\left(1+\ln^2x\right)}{\left(1-\ln x\right)^2}+1=\frac{2\left(1+\ln^2x\right)}{\left(1-\ln x\right)^2}\end{cases}\)
\(\Rightarrow2x^2y'=x^2y^2+1\Rightarrow\) Điều phải chứng minh
a) Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + t} \right)}}{t} = 1\) và đẳng thức \(\ln \left( {x + h} \right) - \ln x = \ln \left( {\frac{{x + h}}{x}} \right) = \ln \left( {1 + \frac{h}{x}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln x\) tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.
b) Sử dụng đẳng thức \({\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right),\) hãy tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _a}x.\)
a) Với x > 0 bất kì và \(h = x - {x_0}\) ta có
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln \left( {{x_0} + h} \right) - \ln {x_0}}}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{h}{{{x_0}}}} \right)}}{{\frac{h}{{{x_0}}}.{x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{h}{{{x_0}}}} \right)}}{{\frac{h}{{{x_0}}}}} = \frac{1}{{{x_0}}}\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = \ln x\) có đạo hàm là hàm số \(y' = \frac{1}{x}\)
b) Ta có \({\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\) nên \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \left( {\frac{{\ln x}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)
Cho \(y=\sin\left(\ln x\right)+\cos\left(\ln x\right)\). Chứng minh hệ thức : \(y+xy'+x^2y"=0\)
Ta có \(y'=\frac{\cos\left(\ln x\right)-\sin\left(\ln x\right)}{x}\)
\(\Rightarrow y"=\frac{x.\frac{-\sin\left(\ln x\right)-\cos\left(\ln x\right)}{x}-\left[\cos\left(\ln x\right)-\sin\left(\ln x\right)\right]}{x^2}=\frac{-2\cos\left(\ln x\right)}{x^2}\)
Ta có :
\(y+xy'+x^2y"=\sin\left(\ln x\right)+\cos\left(\ln x\right)+\cos\left(\ln x\right)-\sin\left(\ln x\right)-2\cos\left(\ln x\right)=0\)
Chứng minh hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức :
Nếu \(y=\frac{1+\ln x}{x\left(1-\ln x\right)}\) thì \(y'=\frac{2xy}{x^2+1}+e^x\left(x^2+1\right)\)
\(y'=\frac{1-\ln x-\left(1-\ln x-1\right)}{x^2\left(1-\ln x\right)^2}=\frac{1}{x^2\left(1-\ln x\right)^2}\)
Chứng minh đẳng thức :
\(2y=xy'+\ln y'\) với \(y=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\ln\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}\)
Ta có : \(y'=x+\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+1}+x\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)+\frac{\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}}{\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}\)
\(=x+\frac{2x^2+1}{2\sqrt{x^2+1}}+\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\sqrt{x^2+1}}=x+\frac{2x^2+1}{2\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\)
\(=x+\frac{2\left(x^2+1\right)}{2\sqrt{x^2+1}}=x+\sqrt{x^2+1}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}xy'+\ln y'=x\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=x^2+x\sqrt{x^2+1}+\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\\2y=x^2+x\sqrt{x^2+1}+2\ln\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}=x^2+x\sqrt{x^2+1}+\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\end{cases}\)
\(\Rightarrow2y=xy'+\ln y'\)\(\Rightarrow\) Điều phải chứng minh
Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
a) \(A = \ln \left( {\frac{x}{{x - 1}}} \right) + \ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) - \ln \left( {{x^2} - 1} \right);\)
b) \(B = 21{\log _3}\sqrt[3]{x} + {\log _3}\left( {9{x^2}} \right) - {\log _3}9.\)
\(a,A=ln\left(\dfrac{x}{x-1}\right)+ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)-ln\left(x^2-1\right)\\ =ln\left(\dfrac{x}{x-1}\cdot\dfrac{x+1}{x}\right)-ln\left(x^2-1\right)\\ =ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)-ln\left(x^2-1\right)\\ =ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\cdot\dfrac{1}{x^2-1}\right)\\ =ln\left[\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\right]\\ =2ln\left(\dfrac{1}{x-1}\right)\)
\(b,21log_3\sqrt[3]{x}+log_3\left(9x^2\right)-log_3\left(9\right)\\ =7log_3\left(x\right)+log_3x^2+log_39-log_39\\ =7log_3x+2log_3x\\ =9log_3x\)