Đường tròn tâm \(I\left(2;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Do M thuộc \(\Delta\) nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;-m-2\right)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(m-2;-m-3\right)\)

\(\Rightarrow IM^2=\left(m-2\right)^2+\left(m+3\right)^2=2m^2+2m+13\)

\(\Delta_vMIA=\Delta_vMIB\Rightarrow S_{IMAB}=2S_{MIA}=2.\dfrac{1}{2}AM.IA\)

\(\Leftrightarrow10=IA.\sqrt{IM^2-IA^2}=\sqrt{5}.\sqrt{2m^2+2m+13-5}\)

\(\Leftrightarrow2m^2+2m+8=20\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;-4\right)\\M\left(-3;1\right)\end{matrix}\right.\)

(Δ): x-2y+1=0

=>VTPT là \(\overrightarrow{a}=\left(1;-2\right)\)

d: 2x+y-2=0

=>VTPT là \(\overrightarrow{b}=\left(2;1\right)\)

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\cdot1+\left(-2\right)\cdot1=0\)

=>d vuông góc Δ

=>\(\widehat{\left(d,\text{Δ}\right)}=90^0\)

a.

\(R=d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|3-5.\left(-2\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-5\right)^2}}=\dfrac{14}{\sqrt{26}}\)

b.

\(d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|4sina+4\left(2-sina\right)\right|}{\sqrt{cos^2a+sin^2a}}=8\)

1. Ta có: \(d\) đi qua điểm \(M\left(1;-1\right)\) và có vec-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(1;2\right)\). Suy ra \(d\) có 1 vec-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;-1\right)\).

Phương trình chính tắc của \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}\)

Phương trình tổng quát của \(d:2\left(x-1\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-3=0\)

2. Ta có: \(d\) đi qua \(M\left(2;-1\right)\) và nhận vec-tơ \(\overrightarrow{u}\left(-1;2\right)\) làm vec-tơ chỉ phương. Suy ra \(d\) có 1 vec-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;1\right)\)

Phương trình tham số chủa đường thẳng \(d:\left\{\begin{matrix}x=2-t\\y=-1+2t\end{matrix}\right.\)

Phương trình tổng quát của \(d:2\left(x-2\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow2x+y-3=0\)

+​câu a:+ gọi d là đường thẳng qua O vuông góc với \(\Delta\): pt d :x+y+m=0 , O(00) \(\in d\Rightarrow m=0\). vậy pt d :x+y =0

+giao điểm H của d và \(\Delta\) thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(-1;1\right)\)

+goi O' la diem doi xung voi O qua d \(\Rightarrow\)H là trung điểm OO'

\(\Rightarrow O'\left(-2;2\right)\)

​câu b : goi M (a;b) \(\in\Delta\Rightarrow M\left(a;a+2\right)\)

+ O' doi xung O qua \(\Delta\) nen MO = MO'.

+ OM+MA=O'M+MA\(\ge OA\) ​dấu bằng xảy ra khi O',M,A thang hang \(\Leftrightarrow\overrightarrow{O'M}\)cùng phương với \(\overrightarrow{O'A}\)

+ \(\overrightarrow{O'M}=\left(a+2;a\right);\overrightarrow{O'A}=\left(4;-2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+2}{4}=\dfrac{a}{-2}\Rightarrow a=\dfrac{-2}{3}\Rightarrow M\left(\dfrac{-2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)