1:

\(=\left(\dfrac{1}{x-2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{3\sqrt{x}-6}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+3}{3\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{3+2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+3}=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\)

<=> \(\left[-\left(2m+5\right)\right]^2-4.1.\left(2m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m+21>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m+9+12>0\)

<=> \(\left(2m+3\right)^2+12>0\)

Vì (2m+3)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị m.

Theo viét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)

Theo đề:

\(M=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) (điều kiện: \(x_1;x_2\ge0\))

=> \(M^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}\right)-2\sqrt{\left(2m+1\right)}+4\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}-2\right)+4\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+4\ge4\)

=> \(M\ge2\).

Dấu "=" xảy ra khi m = 0

Thế m = 0 vào phương trình ở đề được:

\(x^2-5x+1=0\)

Phương trình này có hai nghiệm dương -> thỏa mãn điều kiện.

Vậy min M = 2 và m = 0

☕T.Lam

Ta có: \(\Delta=4m^2+4m-11\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow4m^2+4m-11>0\)

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+3\\x_1x_2=2m+5\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m^2+4m-11>0\\2m+3>0\\2m+5>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{-1-2\sqrt{3}}{2}\\m>\dfrac{-1+2\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\\m>-\dfrac{3}{2}\\m>-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m>\dfrac{-1+2\sqrt{3}}{2}\)

 Mặt khác: \(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}{x_1x_2}=\dfrac{16}{9}\) \(\Rightarrow\dfrac{2m+3+2\sqrt{2m+5}}{2m+5}=\dfrac{16}{9}\)

\(\Rightarrow18m+27+18\sqrt{2m+5}=32m+80\)

\(\Leftrightarrow14m-53=18\sqrt{2m+5}\)

\(\Rightarrow\) ...

giúp mình với ạ ! Mình cảm ơn ạ 

b: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+20\)

\(=4m^2-16m+24\)

\(=4\left(m^2-4m+6\right)>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow2m-2-2\sqrt{2m-5}=4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2m-5}=2m-6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2m-5}=m-3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>=3\\m^2-6m+9-2m+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>=3\\m^2-8m+14=0\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi, bạn chỉ cần giải pt bậc hai rồi đối chiếu với đk là xong

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ △ > 0

⇔ 4m² + 20m + 25 - 8m - 4 > 0

⇔ 4m² + 12m + 21 > 0

⇔ (2m + 3)² + 12 > 0 ⇔ m ∈ R

Theo hệ thức Viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5\\x_1.x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)

=> P² = (\(\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\))² = (\(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\))²

                                       = x₁ + x₂ - 2\(\sqrt{x_1.x_2}\)

                                       = 2m + 5 - 2\(\sqrt{2m+1}\)

                                       = 2m + 1 - 2\(\sqrt{2m+1}\) + 1 + 3

                                       = (\(\sqrt{2m+1}\) - 1)² + 3 ≥ 3 ∀m

=> P ≥ \(\sqrt{3}\) 

Dấu "=" xảy ra ⇔ \(\sqrt{2m+1}\) - 1 = 0 ⇔ \(\sqrt{2m+1}\)=1 ⇔ 2m + 1 = 1 ⇔ m = 0

Vậy với m = 0 thì P đạt GTNN = \(\sqrt{3}\)

a, Thay m vào pt ta được :

(3+1).x²-2(3+1).x+3-3=0

\(\Leftrightarrow\)4x²-8x=0

\(\Leftrightarrow4x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy m=3 phương trình có 2 nghiệm là 0 và 2

b, Theo Vi et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m+1}\end{matrix}\right.\left(vớim\ne-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=2\end{matrix}\right.\)  (1)

Ta có : (4x₁+1)(4x₂+1)=18

\(\Leftrightarrow16x_1.x_2+4x_1+4x_2+1=18\)

\(\Leftrightarrow16.x_1.x_2+4\left(x_1+x_2\right)=17\)  (2)

Thay (1) vào (2) ta được : 

         16.\(\dfrac{m-3}{m+1}+4.2=17\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{16m-48}{m+1}=9\)

\(\Leftrightarrow9\left(m+1\right)=16m-48\)

\(\Leftrightarrow9m+9=16m-48\)

\(\Leftrightarrow7m=57\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{57}{7}\) (thỏa mãn m\(\ne-1\))

Vậy ..