Question

Cho phương trình:\(x^2-\left(2m+5\right)x+2m+1=0\)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) sao cho P=/\(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\) /đạt GTNN

Answer 1

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ △ > 0

⇔ 4m² + 20m + 25 - 8m - 4 > 0

⇔ 4m² + 12m + 21 > 0

⇔ (2m + 3)² + 12 > 0 ⇔ m ∈ R

Theo hệ thức Viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5\\x_1.x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)

=> P² = (\(\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\))² = (\(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\))²

                                       = x₁ + x₂ - 2\(\sqrt{x_1.x_2}\)

                                       = 2m + 5 - 2\(\sqrt{2m+1}\)

                                       = 2m + 1 - 2\(\sqrt{2m+1}\) + 1 + 3

                                       = (\(\sqrt{2m+1}\) - 1)² + 3 ≥ 3 ∀m

=> P ≥ \(\sqrt{3}\) 

Dấu "=" xảy ra ⇔ \(\sqrt{2m+1}\) - 1 = 0 ⇔ \(\sqrt{2m+1}\)=1 ⇔ 2m + 1 = 1 ⇔ m = 0

Vậy với m = 0 thì P đạt GTNN = \(\sqrt{3}\)