a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Hàm số x² và sinx liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Hàm số \({x^4} - {x^2}\) liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số \(\frac{6}{{x - 1}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

c) Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {-4;3} \right\}.\)

Hàm số \(\frac{{2x}}{{x - 3}}\)  liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\)

Hàm \(\frac{{x - 1}}{{x + 4}}\)  liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\) và \(\left( {-4; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng  \(\left( {-\infty ;-4} \right)\), \(\left( {-4;3} \right)\), \(\left( {3; + \infty } \right).\)

Hàm số xác định khi: \(\left\{{}\begin{matrix}tanx\ne\pm1;cosx\ne0\\cosx\ne-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\pm\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\x\ne\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Hàm số xác định khi: \(\left\{{}\begin{matrix}4\pi^2-x^2\ge0\\cosx\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\pi\le x\le2\pi\\x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)

ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\ne0\\sin^4x-cos^4x\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{\pi}{4}\ne k\pi\\\left(cos^2x-sin^2x\right)\left(cos^2x+sin^2x\right)\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\cos2x\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\2x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)

a)\(\forall x\Rightarrow sinx\le1\Rightarrow1-sinx\ge0\)

cosx\(\ge-1\Rightarrow1+cosx\ge0\)

ĐK:cosx\(\ne-1\Leftrightarrow x\ne\pi+k2\pi\)

\(\Rightarrow D=\left\{R\backslash\left\{\pi+k2\pi\right\}\right\}\)

b)ĐK:\(cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\ne0\Leftrightarrow2x+\frac{\pi}{3}\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\)

\(\Rightarrow D=\left\{R\text{\}\left\{\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\right\}\right\}\)

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Vì \( - 1 \le \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le 2{\rm{cos\;}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\;\; \Leftrightarrow  - 3 \le 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1 < 1\)

\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1\) là \(T = \left[ { - 3;1} \right]\).

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Vì \( - 1 \le \sin x \le 1,\;\; - 1 \le \cos \alpha  \le 1\;\; \Leftrightarrow  - 2 \le \sin x + \cos x \le 2\)

\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = \sin x + \cos x\) là \(T = \left[ { - 2;2} \right]\).