Cho cấp số cộng (un) và cấp số nhân (vn) thoả mãn: u1 = v1 =2, u2 = v2, v3 = u3 + 4. Xác định cấp số cộng và cấp số nhân ñó.
Cho cấp số nhân u n thỏa mãn u 1 + u 2 + u 3 = 13 u 4 − u 1 = 26 . Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân u n là
A. S 8 = 1093.
B. S 8 = 3820
C. S 8 = 9841
D. S 8 = 3280
Cho cấp số nhân ( u n ) có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn u 1 + u 2 + u 3 + u 4 = 5 ( u 1 + u 2 ) . Số tự nhiên n nhỏ nhất để u n > 8 100 u 1 là
A. 102.
B. 301.
C. 302.
D. 101.
Cho cấp số nhân thỏa mãn u1+u2+u3=13;u4-u1=26 . Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân (un) là
\(\left\{{}\begin{matrix}u1+u2+u3=13\\u4-u1=26\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1\cdot q+u_1\cdot q^2=13\\u_1\cdot q^3-u_1=26\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1\left(1+q+q^2\right)=13\\u_1\left(q^3-1\right)=26\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1+q+q^2}{\left(q-1\right)\left(q^2+q+1\right)}=\dfrac{13}{26}=\dfrac{1}{2}\\u_1\left(q^3-1\right)=26\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{q-1}=\dfrac{1}{2}\\u_1\left(q^3-1\right)=26\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q-1=2\\u_1=\dfrac{26}{q^3-1}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}q=2+1=3\\u_1=\dfrac{26}{3^3-1}=1\end{matrix}\right.\)
Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân là:
\(\dfrac{u_1\left(1-q^8\right)}{1-q}=\dfrac{1\cdot\left(1-3^8\right)}{1-3}=3280\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_2+u_3=13\\u_4-u_1=26\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1.q+u_1.q^2=13\\u_1.q^3-u_1=26\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1\left(1+q+q^2\right)=13\\u_1\left(q^3-1\right)=26\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1\left(1+q+q^2\right)=13\\u_1\left(q-1\right)\left(q^2+q+1\right)=26\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}13.\left(q-1\right)=26\\u_1.\left(q^3-1\right)=26\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}q=3\\u_1=1\end{matrix}\right.\)
\(S_8=\dfrac{u_1\left(1-q^8\right)}{1-q}=\dfrac{1.\left(1-3^8\right)}{1-3}=3280\)
Công bội nguyên dương của cấp số nhân ( u n ) thoả mãn :
u 1 + u 2 + u 3 = 14 u 1 u 2 u 3 = 64 l à :
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Chọn B
Ta giải hệ
Giải (*)
* ⇔ 4 q 2 + 4 q + 4 = 14 q ⇔ 4 q 2 − 10 q + 4 = 0 ⇔ q = 2 q = 1 2
Theo đề là công bội nguyên dương do đó q = 2
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 11 u 1 + u 5 = 82 11 .Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số
A. q = 3 ; u n = 3 n − 1 11
B. q = 1 3 ; u n = 81 11 . 1 3 n − 1
C. Cả A, B đúng
D. Cả A, B sai
Chọn C
Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có
u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 11 u 1 + u 5 = 82 11
⇔ u 2 + u 3 + u 4 = 39 11 u 1 + u 5 = 82 11 ⇔ u 1 q + q 2 + q 3 = 39 11 u 1 1 + q 4 = 82 11
Suy ra:
q 4 + 1 q 3 + q 2 + q = 82 39 ⇔ 39 q 4 − 82 q 3 − 82 q 2 − 82 q + 39 = 0
⇔ ( 3 q − 1 ) ( q − 3 ) ( 13 q 2 + 16 q + 13 ) = 0 ⇔ q = 1 3 , q = 3
q = 1 3 ⇒ u 1 = 81 11 ⇒ u n = 81 11 . 1 3 n − 1
q = 3 ⇒ u 1 = 1 11 ⇒ u n = 3 n − 1 11
Cho cấp số nhân u n với u 1 = 1 , công bội q = 2 và cấp số cộng v n có v 1 = 2 công sai d = 2. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt đồng thời trong 1000 số hạng đầu tiên của cả hai cấp số cộng nói trên?
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
Suy ra có 11 giá trị n nên có 11 phần tử bằng nhau. Chọn C.
Công bội nguyên dương của cấp số nhân ( u n ) thoả mãn :
u 1 + u 2 + u 3 = 21 1 u 1 + 1 u 2 + 1 u 3 = 7 12 l à
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Chọn B
Ta giải hệ:
u 1 q 2 + q + 1 = 21 1 u 1 1 + 1 q + 1 q 2 = 7 12
⇔ q 2 + q + 1 21 = 1 u 1 1 u 1 q 2 + q + 1 q 2 = 7 12 ⇔ q 2 + q + 1 21 = 1 u 1 q 2 + q + 1 21 . q 2 + q + 1 q 2 = 7 12 *
Giải (*)
( q 2 + q + 1 ) 2 q 2 = 49 4 ⇔ q 2 + q + 1 q = ± 7 2
TH1: q 2 + q + 1 q = 7 2 ⇔ q = 2 q = 1 2 ( l o a i )
TH2; q 2 + q + 1 q = − 7 2 ⇔ q = − 9 + 65 4 q = − 9 − 65 4 ( l o a i )
Vậy q=2
Cho cấp số cộng (un)thoả u2=3 và u10=-15 Tính số hạng đầu u1, công sai d và tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un)
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+d=3\\u_1+9d=-15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=\dfrac{21}{4}\\d=-\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\)
\(S_{20}=\dfrac{21}{4}.20+\dfrac{19.20}{2}.\left(-\dfrac{9}{4}\right)=-\dfrac{645}{2}\)
cho cấp số cộng Un vs U1 =3 và U3=12 công bội q của cấp số nhân cho bằng