Câu 10
Cho hàm R3P = \({{\frac{4}{27}\sqrt{26}}.a_0^{-5/2}.r.(2-{\frac{r}{3a_0}}).e^{\frac{-r}{3a_0}}}\)
a) Xác định mật độ xác suất theo r;
b) Biểu diễn kết quả thu được trên đồ thị
Câu 12
Cho 2 hàm sóng: \(\psi_{1s}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}.a^{\frac{3}{2}}_0.e^{-\frac{r}{a_0}}\)và \(\psi_{2s}=\frac{1}{4\sqrt{2}}.a^{\frac{3}{2}}_0.\left(2-\frac{r}{a_0}\right).e^{-\frac{r}{2a_0}}\)
a) Hãy chứng minh hai hàm sóng trên trực giao nhau
b) Tìm hàm mật độ xác suất trong mỗi trường hợp và chỉ ra những vị trí mà mật độ xác suất đạt giá trị cực đại.
a, Ta có:
Hai hàm sóng trực giao nhau khi \(I=\int\psi_{1s}.\psi_{2s}d\psi=0\) \(\Leftrightarrow I=\iiint\psi_{1s}.\psi_{2s}dxdydz=0\)
Chuyển sang tọa độ cầu ta có: \(\begin{cases}x=r.\cos\varphi.sin\theta\\y=r.\sin\varphi.sin\theta\\z=r.\cos\theta\end{cases}\)
\(\Rightarrow\)\(I=\frac{a^3_o}{4.\sqrt{2.\pi}}\int\limits^{\infty}_0\left(2-\frac{r}{a_o}\right).e^{-\frac{3.r}{2.a_o}}.r^2.\sin\theta dr\int\limits^{2\pi}_0d\varphi\int\limits^{\pi}_0d\theta\)
\(=a^3_o.\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)(.\(2.\int\limits^{\infty}_0r^2.e^{-\frac{3.r}{2.a_o}}dr-\frac{1}{a_o}.\int\limits^{\infty}_0r^3.e^{-\frac{3.r}{2.a_o}}dr\))
\(=a_o.\sqrt{\frac{\pi}{2}}.\left(2.I_1-\frac{1}{a_o}.I_2\right)\)
Tính \(I_1\):
Đặt \(r^2=u\); \(e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr=dV\)
\(\Rightarrow\begin{cases}2.r.dr=du\\-\frac{2a_o}{3}.e^{-\frac{3r}{2a_o}}=V\end{cases}\) \(\Rightarrow I_1=-r^2.\frac{2a_o}{3}.e^{-\frac{3r}{2a_o}}+\frac{4.a_o}{3}.\int\limits^{\infty}_0r.e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr\)\(=0+\frac{4a_o}{3}.I_{11}\)
Tính \(I_{11}\):
Đặt r=u; \(e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr=dV\)\(\Rightarrow\begin{cases}dr=du\\-\frac{2a_o}{3}.e^{-\frac{3r}{2a_o}}=V\end{cases}\)\(\Rightarrow I_{11}=0+\frac{2a_0}{3}.\int\limits^{\infty}_0e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr=\frac{4a^2_o}{9}\)
\(\Rightarrow2.I_1=2.\frac{4a_o}{3}.\frac{4a_o^2}{9}=\frac{32a^3_o}{27}\)
Tính \(I_2\):
Đặt \(r^2=u;e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr=dV\) \(\Rightarrow\)\(3r^2dr=du;-\frac{2a_o}{3}.e^{-\frac{3r}{2a_o}}=V\)
\(\Rightarrow I_2=0+2.a_o.\int\limits^{\infty}_0r^2.e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr\)\(\Rightarrow\frac{1}{a_o}.I_2=2a_o.\frac{16a^3_o}{27}.\frac{1}{a_o}=\frac{32a^3_o}{27}\)
\(\Rightarrow I=a^3_o.\sqrt{\frac{\pi}{2}}.\left(\frac{32a^3_o}{27}-\frac{32a^3_o}{27}\right)=0\)
Vậy hai hàm sóng này trực giao với nhau.
b,
Xét hàm \(\Psi_{1s}\):
Hàm mật độ sác xuất là: \(D\left(r\right)=\Psi^2_{1s}=\frac{1}{\pi}.a^3_o.e^{-\frac{2r}{a_o}}\)
\(\Rightarrow D'\left(r\right)=-\frac{2.a_o^2}{\pi}.e^{-\frac{2r}{a_o}}=0\)
\(\Rightarrow\)Hàm đạt cực đại khi \(r\rightarrow o\) nên hàm sóng có dạng hình cầu.
Xét hàm \(\Psi_{2s}\):
Hàm mật độ sác xuất: \(D\left(r\right)=\Psi_{2s}^2=\frac{a^3_o}{32}.\left(2-\frac{r}{a_o}\right)^2.e^{-\frac{r}{a_0}}\)\(\Rightarrow D'\left(r\right)=\left(2-\frac{r}{a_o}\right).e^{-\frac{r}{a_o}}.\left(-4+\frac{r}{a_o}\right)=0\)
\(\Rightarrow r=2a_o\Rightarrow D\left(r\right)=0\); \(r=4a_o\Rightarrow D\left(r\right)=\frac{a^3_o}{8}.e^{-4}\)
Vậy hàm đạt cực đại khi \(r=4a_o\), tại \(D\left(r\right)=\frac{a^3_o}{8}.e^{-4}\)
hai hàm trực giao: I=\(\int\)\(\Psi\)*\(\Psi\)d\(\tau\)=0
Ta có: I=\(\int\limits^{ }_x\)\(\int\limits^{ }_y\)\(\int\limits^{ }_z\)\(\Psi\)*\(\Psi\)dxdydz=0
=\(\int\limits^{ }_r\)\(\int\limits^{ }_{\theta}\)\(\int\limits^{ }_{\varphi}\)\(\Psi\)1s\(\Psi\)2sr2sin\(\theta\)drd\(\theta\)d\(\varphi\)
=\(\int\limits^{\infty}_0\)\(\int\limits^{\pi}_0\)\(\int\limits^{2\pi}_0\)(2-\(\frac{r}{a_0}\)).e-3r/a0r2sin\(\theta\)drd\(\theta\)d\(\varphi\)
=C.\(\int\limits^{\infty}_0\)(2-\(\frac{r}{a_0}\)).e-3r/a0r2dr.\(\int\limits^{\pi}_0\)sin\(\theta\)\(\int\limits^{2\pi}_0\)d\(\varphi\)
với C=\(\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\)a0-3
Xét tích phân: J=\(\int\limits^{\infty}_0\)(2-\(\frac{r}{a_0}\)).e-3r/a0r2dr
=\(\int\limits^{\infty}_0\)(2r2- \(\frac{r^3}{a_0}\)).e-3r/a0dr
=\(\int\limits^{\infty}_0\)(2r2- \(\frac{r^3}{a_0}\)).\(\frac{-2a_0}{3}\)de-3r/a0
=\(\frac{-2a_0}{3}\).((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0\(-\)\(\int\)(4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/adr)
=\(\frac{-2a_0}{3}\)((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 - \(\int\)(4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\)).\(\frac{-2a_0}{3}\)de-3r/a)
=\(\frac{-2a_0}{3}\)((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0 - \(\int\)(4 - \(\frac{6r}{a_0}\))e-3r/a0dr))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0- \(\int\)(4 - \(\frac{6r}{a_0}\))\(\frac{-2a_0}{3}\).de-3r/a0))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)(((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0+\(\frac{2a_0}{3}\)((4-\(\frac{6r}{a_0}\)).e-3r/a0 + \(\int\)(\(\frac{6}{a_0}\)e-3r/a0dr)))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)(((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0+\(\frac{2a_0}{3}\)((4-\(\frac{6r}{a_0}\)).e-3r/a0 + \(\int\)(\(\frac{6}{a_0}\).\(\frac{-2a_0}{3}\)de-3r/a0)))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)((((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0+\(\frac{2a_0}{3}\)((4-\(\frac{6r}{a_0}\)).e-3r/a0 - 4.e-3r/a0))))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)e-3r/a0.\(\frac{-r^3}{a_0}\)=2/3.e-3r/a0.r3Thế cận tích phân 0 và \(\infty\) J= 0 suy ra I=0. Vậy 2 hàm số trực giaob1.\(\Psi\)1s=\(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\).a03/2.e-r/a0.
Hàm mật độ xác suất :
Dr=|\(\Psi\)2|r2
=\(\frac{1}{\pi}\)a03.e-2r/a0.r2
xét \(\frac{dD_r}{r}\)= \(\frac{1}{\pi}\)a03.(r2.\(\frac{-2}{a_0}\)e-2r/a0+2r.e-2r/a0)
= \(\frac{1}{\pi}\)a03.e-2r/a0.2r.(1\(-\)\(\frac{r}{a_0}\))
\(\frac{dD_r}{r}\)=0 \(\Leftrightarrow\)r=a0.
tại r=a0 Dr đạt cực đại. Dmax=\(\frac{1}{\pi}\)a03.e-2.a02=\(\frac{1}{\pi}\)a05.e-2
b2. \(\Psi\)2s=\(\frac{1}{4\sqrt{2}}\)a03/2.(2-\(\frac{r}{a_0}\)).e-r/2ao.
Hám mật độ xác suất:
Dr=|\(\Psi\)2|r2.
=\(\frac{1}{32}\).a03.e-r/ao.(2-\(\frac{r}{a_0}\))2
=\(\frac{1}{32}\).a03.e-r/ao.(4-4.\(\frac{r}{a_0}\)+\(\frac{r^2}{a^2_0}\))
Xét \(\frac{dDr}{dr}\)= \(\frac{1}{32}\).a03.((e-r/ao.\(\frac{-1}{a_0}\).(2-\(\frac{r}{a_0}\))2+e-r/ao.(-.\(\frac{4}{a_0}\)+\(\frac{2r}{a^2_0}\))
=- \(\frac{1}{32}\).a03.e-r/ao.\(\frac{1}{a_0}\).(2-\(\frac{r}{a_0}\))(\(\frac{r}{a_0}\)-4)
\(\frac{dDr}{dr}\)=0 \(\Rightarrow\)r=2a0 hoặc r=4a0.tại r=2a0 Dr đạt cực đại. Drmax=0.
Chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh của một hình bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Xác suất để khoảng cách giữa hai đỉnh đó bằng \(R\sqrt 2 \) là
A. \(\frac{2}{7}\).
B. \(\frac{3}{7}\).
C. \(\frac{4}{7}\).
D. \(\frac{5}{{56}}\).
tham khảo
Để khoảng cách giữa hai điểm đó là \(R\sqrt{2}\) thì giữa hai đỉnh đó có 1 đỉnh.
Xác suất của biến cố đó là: \(\dfrac{8}{C^2_8}=\dfrac{2}{7}\)
\(\Rightarrow A\)
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }}\) là:
A. \(D = \left[ {2; + \infty } \right).\)
B. \(D = \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
D. \(D = \mathbb{R}.\)
Để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }}\) xác định \( \Leftrightarrow \,\,x - 2 > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,x > 2.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( {2; + \infty } \right).\)
Chọn B.
Hàm số \(S\left( r \right) = \frac{1}{{{r^4}}}\) có thể được sử dụng để xác định sức cản \(S\) của dòng máu trong mạch máu có bản kính \(r\) (tính theo milimét) (theo Bách khoa toàn thu Y học Harrison's internal medicine 21st edition”). Tìm tốc độ thay đổi của \(S\) theo \(r\) khi \(r = 0,8\).
Ta có:
\(s'\left(r\right)=\left(\dfrac{1}{r^4}\right)'=-4\cdot r^{-5}=-\dfrac{4}{r^5}\)
Tốc độ thay đổi của S theo r khi \(r=0,8\) là:
\(S'\left(0,8\right)=-\dfrac{4}{0,8^5}\approx-12,21\)
Cho hàm sóng 2(r - 3/r2).exp(r).
a) Tính mật độ xác suất ứng với hàm sóng trên trong khoảng (0; 3).
b) Chuyển phương trình hàm sóng trên sang hệ tọa độ Đề các.
phần a là mình tính tích phân từ 0-3 của hàm đấy bình phương ạ
còn phần b làm như thế nào ạ, thầy có thể hướng dẫn không ạ
thưa thầy phần a xác suất sẽ bằng tích phân của bình phương hàm sóng cận từ 0 đến 3, nhưng do cận bằng 0 tích phân không xác định nên em không tính được ạ. còn đây là phần b ạ
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\) là
A. \(\mathbb{R}\backslash \{ k2\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}{\rm{\} }}\)
B. \(\mathbb{R}\;\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\)
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\)
D. \(\mathbb{R}\backslash \{ k\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}{\rm{\} }}\)
Hàm số xác định khi: \(\sin x - 1\; \ne 0\; \Leftrightarrow \sin x \ne 1\; \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\;\;k \in \mathbb{Z}\)
Vậy ta chọn đáp án B
Xác định m sao cho hám số \(y=\frac{1}{\sqrt{\left(x^2-4\right)^2+2x^2-m+1}}\)xác định trên R
tìm tập xác định của hàm số
Q) \(y=\frac{x+3}{\sqrt{\left|x-1\right|+\left|3-2x\right|+x-2}}\)
R) \(y=\frac{4x^2+1}{\sqrt{4-x\left|x\right|}}\)
Cho R = \((\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{x^3}\sqrt{y^3}}{y-x}):\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
a. Tìm điều kiện xác định
b. Rút gọn
c. cmr R\(\ge\)0
a. ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\y-x\ne0\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\x\ne y\end{cases}}\)
b. \(R=\left(\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{y-x}\right):\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(\Leftrightarrow R=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{y-x}\right):\frac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(\Leftrightarrow R=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):\frac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(\Leftrightarrow R=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-x-\sqrt{xy}-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\)
\(\Leftrightarrow R=\frac{x+2\sqrt{xy}+y-x-\sqrt{xy}-y}{x-\sqrt{xy}+y}\)
\(\Leftrightarrow R=\frac{\sqrt{xy}}{x-\sqrt{xy}+y}\)
c. Với \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\x\ne y\end{cases}}\)thì \(\sqrt{xy}\ge0\) ( 1 )
Ta có : \(x-\sqrt{xy}+y=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\sqrt{xy}\)
Mà \(\orbr{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\\\left(1\right)\end{cases}}\)=> \(x-\sqrt{xy}+y\ge0\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => \(R\ge0\) ( Đpcm )