BÀI TOÁN PHỤ: CHứng minh rằng số chính phương lẻ chia cho 8 dư 1.

Giải: Xét số chính phương lẻ là \(m^2\left(m\in Z\right)\)

Như vậy m là số lẻ, đặt \(m=2n+1\)

Ta có:

\(m^2=\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1=4.n.\left(n+1\right)+1\)

Vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

\(\Rightarrow4n\left(n+1\right) \) chia hết cho 8

\(\Rightarrow4.n.\left(n+1\right)+1\) chia 8 dư 1

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Vì a lẻ nên \(a\ne0\), phương trình \(ax^2+bx+c=0\) là phương trình bậc hai.

Xét \(\Delta=b^2-4ac\): b lẻ, theo bài toán phụ có \(b^2=8k+1\left(k\in Z\right)\)

a,c lẻ \(\Rightarrow\) \(ac\) lẻ

Đặt \(ac=2l-1\left(l\in Z\right)\)

Do đó \(\Delta=b^2-4ac=8k+1-4.\left(2l-1\right)=8k+1-8l+4=8\left(k-l\right)+5 \)chia cho 8 dư 5, theo bài toán phụ trên ta có \(\Delta\) không phải số chính phương.

\(\Delta\) là số nguyên, không phải óố chính phương \(\Rightarrow\sqrt{\Delta}\) là số vô tỉ

Nghiệm của phương trình đã cho (nếu có) là: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)

b,a\(\in Z\), \(\sqrt{\Delta}\) vô tỉ nên x là vô tỉ.

Vậy phương trình có nghiệm nếu có thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.

 

ơng   là phươngax2+bx+c=0

Bài này có sự liên quan giữa các số lẻ a;b;c không? ( không = khó )

ax^2 +bx +c = 0 (*)
(*) có nghiệm hữa tỷ <=> Δ = b^2 - 4ac là số chính phương lẻ
(vì 4ac chẵn và b lẻ)
Δ là số chính phương lẻ nên Δ chia 8 dư 1 (*)
với a, b , c là số nguyên lẻ nên có dạng:
a = 2m + 1; b = 2n +1; c = 2p + 1 ( m,n,p là số nguyên)
=> Δ = (2n +1)^2 - 4(2m+1)(2p+1)
= 4n^2 + 4n + 1 - 4(4mp + 2m + 2p + 1)
= 4n(n+1) - 8(mp + m + p) - 3 = 4n(n+1) - 8(mp + m + p) - 8 + 5
vì 4n(n+1) - 8(mp + m + p) - 8 chia hết cho 8 => Δ chia 8 dư 5 mâu thuẩn với (*)
=> đpcm.
-------------------------
chứng minh (*):
A = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
k(k + 1) là tích 2 số nguyên liêu tiếp chia hết cho 2
=> 4k(k + 1) chia hết cho 8
=> A chia 8 dư 1

bạn tham khảo nha

Chọn B.

Đặt

Điều này chứng tỏ z là một nghiệm (phức) của phương trình  2 x 2 + 2 x + 5 = 0

Từ đó suy ra

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì

\(\Delta=a^2-4b\) phải là số chính phương lẻ.

\(\Rightarrow\Delta:8\)dư 1 (1)

Theo đề bài thì a, b lẻ nên ta đặt

\(\hept{\begin{cases}a=2m+1\\b=2n+1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(2n+1\right)\)

\(=-8n+4m^2+4m-3\)

\(=-8n+4m\left(m+1\right)+8-5\)

\(\Rightarrow\Delta:8\) dư 5 (2)

Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn nhau nên nếu a, b lẻ thì phương trình không có nghiệm nguyên.

Sửa cái cuối thành - 8 + 5 nhé. M bấm nhầm

Gọi nghiệm nguyên của P(x) là: k

ta có: \(ak^3+bk^2+ck+d=0\)

\(k.\left(ak^2+bk+k\right)=-d\)( *)

ta có: \(P_{\left(1\right)}=a+b+c+d\)

\(P_{\left(0\right)}=d\)

mà P(1); P(0) là các số lẻ

=> a+b+c+d và d là các số lẻ

mà d là số lẻ

=> a+b+c là số chẵn

Từ (*) => k thuộc Ư(d)

mà d là số lẻ

=> k là số lẻ

=> \(k^3-1;k^2-1;k-1\)là các số chẵn

\(\Rightarrow a\left(k^3-1\right)+b\left(k^2-1\right)+c\left(k-1\right)\) là số chẵn

\(=\left(ak^3+bk^2+ck\right)-\left(a+b+c\right)\)

mà a+b+c là số chẵn

\(\Rightarrow ak^3+bk^2+c\) là số chẵn

Từ (*) => d là số chẵn ( vì d là số lẻ)

=> P(x) không thể có nghiệm nguyên

* Chứng minh:

Phương trình a x 2   +   b x   +   c   =   0 có hai nghiệm  x 1 ;   x 2

⇒ Theo định lý Vi-et: 

Khi đó : a.(x – x1).(x – x2)

= a.(x2 – x1.x – x2.x + x1.x2)

= a.x2 – a.x.(x1 + x2) + a.x1.x2

= 

=   a . x 2   +   b x   +   c   ( đ p c m ) .

* Áp dụng:

a)  2 x 2   –   5 x   +   3   =   0

Có a = 2; b = -5; c = 3

⇒ a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm 

Vậy: 

b)  3 x 2   +   8 x   +   2   =   0

Có a = 3; b' = 4; c = 2

⇒  Δ ’   =   4 2   –   2 . 3   =   10   >   0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: