Trước chủ nhật 

=))

\(1)\)

\(VT=\left(\left|x-6\right|+\left|2022-x\right|\right)+\left|x-10\right|+\left|y-2014\right|+\left|z-2015\right|\)

\(\ge\left|x-6+2022-x\right|+\left|0\right|+\left|0\right|+\left|0\right|=2016\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-6\right)\left(2022-x\right)\ge0\left(1\right)\\x-10=y-2014=z-2015=0\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=10\\y=2014\\z=2015\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}x-6\ge0\\2022-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge6\\x\le2022\end{cases}\Leftrightarrow}6\le x\le2022}\) ( nhận ) 

TH2 : \(\hept{\begin{cases}x-6\le0\\2022-x\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le6\\x\ge2022\end{cases}}}\) ( loại ) 

Vậy \(x=10\)\(;\)\(y=2014\) và \(z=2015\)

\(2)\)

\(VT=\left|x-5\right|+\left|1-x\right|\ge\left|x-5+1-x\right|=\left|-4\right|=4\)

\(VP=\frac{12}{\left|y+1\right|+3}\le\frac{12}{3}=4\)

\(\Rightarrow\)\(VT\ge VP\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-5\right)\left(1-x\right)\ge0\left(1\right)\\\left|y+1\right|=0\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}x-5\ge0\\1-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge5\\x\le1\end{cases}}}\) ( loại ) 

TH2 : \(\hept{\begin{cases}x-5\le0\\1-x\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le5\\x\ge1\end{cases}\Leftrightarrow}1\le x\le5}\) ( nhận ) 

\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(y=-1\)

Vậy \(1\le x\le5\) và \(y=-1\)

Bài 1:

Vì \((x-1)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2(y-3)^2=3-(x-1)^2\leq 3\)

\(\Rightarrow (y-3)^2\leq \frac{3}{2}\)

Mà \((y-3)^2\geq 0; (y-3)^2\in\mathbb{Z}\) nên \(\left[\begin{matrix} (y-3)^2=0\\ (y-3)^2=1\end{matrix}\right.\)

Nếu \((y-3)^2=0\):

\((x-1)^2=3-2(y-3)^2=3\) (vô lý với $x$ nguyên)

Nếu \((y-3)^2=1\Rightarrow y-3=\pm 1\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=4\\ y=2\end{matrix}\right.\)

\((x-1)^2=3-2(y-3)^2=3-2=1\Rightarrow x-1=\pm 1\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \((x,y)=(0,4); (0,2); (2,4); (2,2)\)

Bài 2:

Dễ thấy vế trái của đẳng thức đã cho không âm (tính chất trị tuyệt đối)

\(\Rightarrow 2018x=\text{VT}\geq 0\Rightarrow x\geq 0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |x+1|=x+1\\ |x+2|=x+2\\ |x+3|=x+3\\ ....\\ |x+2019|=x+2019\end{matrix}\right.\)

Phương trình trở thành:

\((x+1)+(x+2)+(x+3)+....+(x+2019)=2018x\)

\(\Leftrightarrow 2019x+2029095=2018x\)

\(\Leftrightarrow x=-2029095< 0\) (vô lý- loại)

Vậy không tồn tại $x$ thỏa mãn.

Xét đẳng thức , ta thấy :

\(\left|x+\frac{3}{4}\right|\ge0\)

\(\left|y-\frac{1}{5}\right|\ge0\)

\(\left|x+y+z\right|\ge0\)

=> \(\left|x+\frac{3}{4}\right|+\left|y-\frac{1}{5}\right|+\left|x+y+z\right|\ge0\)

Mà \(\left|x+\frac{3}{4}\right|+\left|y-\frac{1}{5}\right|+\left|x+y+z\right|=0\) (đề bài)

=> \(\hept{\begin{cases}\left|x+\frac{3}{4}\right|=0\\\left|y-\frac{1}{5}\right|=0\\\left|x+y+z\right|=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{3}{4}\\y=\frac{1}{5}\\z=-\left(-\frac{3}{4}+\frac{1}{5}\right)=\frac{11}{20}\end{cases}}\)

Ta thấy một điều phê phê thế này :v  : |a| >= 0 
=> x+3/4=0 
y-1/5=0
x+y+z=0 
=> x=-3/4 =>y=1/5 => z= 3/4 - 1/5 = 11/20 
còn Trường hợp >0 Loại vì lúc ấy phương trình vô nghiệm rồi :v

Bài 1:

\(\left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{6}\right|+...+\left|x+\frac{1}{101}\right|=101x\)

Ta thấy:

\(VT\ge0\Rightarrow VP\ge0\Rightarrow101x\ge0\Rightarrow x\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)+\left(x+\frac{1}{6}\right)+...+\left(x+\frac{1}{101}\right)=101x\)

\(\Rightarrow\left(x+x+...+x\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{101}\right)=0\)

\(\Rightarrow10x+\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{10.11}\right)=0\)

\(\Rightarrow10x+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\right)=0\)

\(\Rightarrow10x+\left(1-\frac{1}{11}\right)=0\)

\(\Rightarrow10x+\frac{10}{11}=0\)

\(\Rightarrow10x=-\frac{10}{11}\Rightarrow x=-\frac{1}{11}\)(loại,vì x\(\ge\)0)

Bài 2:

Ta thấy: \(\begin{cases}\left(2x+1\right)^{2008}\ge0\\\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}\ge0\\\left|x+y+z\right|\ge0\end{cases}\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|\ge0\)

Mà \(\left(2x+1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|=0\)

\(\left(2x+1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|=0\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\left(2x+1\right)^{2008}=0\\\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}=0\\\left|x+y+z\right|=0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}2x+1=0\\y-\frac{2}{5}=0\\x+y+z=0\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\x+y+z=0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\-\frac{1}{2}+\frac{2}{5}+z=0\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\-\frac{1}{10}=-z\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\z=\frac{1}{10}\end{cases}\)

Bài 3:

a)\(2009-\left|x-2009\right|=x\)

\(\Rightarrow\left|x-2009\right|=2009-x\)

\(\Rightarrow\left|x-2009\right|=-\left(x-2009\right)\)

Vì GTTĐ của số âm bằng số đối của nó

\(\Rightarrow x-2009\le0\)

\(\Rightarrow x\le2009\)

Vậy với mọi \(x\le2009\) đều thỏa mãn

b)\(\left|3x+2\right|=\left|5x-3\right|\)

\(\Rightarrow3x+2=5x-3\) hoặc \(3x+2=3-5x\)

\(\Rightarrow2x=5\) hoặc \(8x=1\)

\(\Rightarrow x=\frac{5}{2}\) hoặc \(x=\frac{1}{8}\)

a). Nhận xét rằng từng số hạng của tổng vế phải (VP) đều >=0 nên VP >= 0. Để dấu "=" xảy ra thì từng số hạng trong tổng VP đều bằng 0. Do đó ta có: x= 1/2; y=-3/2; z=-3/2.

b) Tương tự, VP>=0 để VP<=0 = VT chỉ xảy ra khi đạt dấu "=". Cho từng số hạng của VP =0, ta được: x=1; y=2/3; z=-1.