Cho a, b>0 và a+b=2.CMR: \(a^2\cdot b^2\cdot\left(a^2+b^2\right)\le2\)
Những câu hỏi liên quan
cho a+b+c=0 CMR:
\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2\cdot b^2+b^2\cdot c^2+c^2\cdot a^2\)\(a^4+b^4+c^4=2\left(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a\right)^2\)
ta có
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\left(ab+bc+ca\right)^2-2ab^2c-2abc^2-2a^2cb\)
\(\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(c+a+b\right)=\left(ab+bc+ca\right)^2\)
vậy \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1: cho a,b,cge0 và a+b+c1. Chứng minh rằng :a,left(1-aright)cdotleft(1-bright)cdotleft(1-cright)ge8cdot acdot bcdot cb,16cdot acdot bcdot cge a+bc,frac{a}{1+a}+frac{2cdot b}{2+b}+frac{3cdot c}{3+c}lefrac{6}{7}Bài 2: cho a,b,c0 và a.b.c0 chứng minh rằng:frac{bcdot c}{a^2cdot b+a^2cdot c}+frac{acdot c}{b^2cdot c+b^2cdot a}+frac{acdot b}{c^2cdot a+c^2cdot b}gefrac{3}{2}
Đọc tiếp
Bài 1: cho \(a,b,c\ge0\) và a+b+c=1. Chứng minh rằng :
a,\(\left(1-a\right)\cdot\left(1-b\right)\cdot\left(1-c\right)\ge8\cdot a\cdot b\cdot c\)
b,\(16\cdot a\cdot b\cdot c\ge a+b\)
c,\(\frac{a}{1+a}+\frac{2\cdot b}{2+b}+\frac{3\cdot c}{3+c}\le\frac{6}{7}\)
Bài 2: cho a,b,c>0 và a.b.c=0 chứng minh rằng:
\(\frac{b\cdot c}{a^2\cdot b+a^2\cdot c}+\frac{a\cdot c}{b^2\cdot c+b^2\cdot a}+\frac{a\cdot b}{c^2\cdot a+c^2\cdot b}\ge\frac{3}{2}\)
Bài 1 :
a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a, b không âm thỏa \(a^2+b^2\le2\)
CM: \(a\sqrt{3a\cdot\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\cdot\left(b+2a\right)}\le6\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(2\ge a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\Rightarrow ab\le1\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left[3\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\)
\(\le2\left(3.2+12.1\right)=36\)
\(\Rightarrow a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
Đúng 0
Bình luận (0)
ÁP DỤNG BĐT CÔ SI ,TA CÓ:
\(\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le\frac{3a+\left(a+2b\right)}{2}=2a+b\)\(\Leftrightarrow a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a\left(2a+b\right)=2a^2+ab\left(1\right)\)
(VÌ a,b khong âm). C/M TƯƠNG TỰ TA CÓ \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\left(2\right)\)
TA CÓ :\(2ab\le a^2+b^2\le2\left(3\right)\).TỪ (1),(2),(3) TA CÓ;
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2a^2+2b^2+ab+ab\le\)\(2\left(a^2+b^2\right)+2ab\le4+2=6\)
DẤU ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI a=b=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Chứng minh \(a^5\cdot\left(b^2+c^2\right)+b^5\cdot\left(a^2+c^2\right)+c^5\cdot\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(a^3+b^3+c^3\right)\cdot\left(a^4+b^4+c^4\right)\)với \(a+b+c=0\)
Ai giúp mình làm bài này nhanh và đúng nhất, mình sẽ like nha!
rút gọn phân thức\(\frac{a^2\cdot\left(b-c\right)+b^2\cdot\left(c-a\right)+c^2\cdot\left(a-b\right)}{a^4\cdot\left(b^2-c^2\right)+b^4\cdot\left(c^2-a^2\right)+c^4\cdot\left(a^2-b^2\right)}\)
Tính:
B = \(\dfrac{\text{(a^2 +b^2 +c^2)*(a+b+c)^2+(a*b+b*c+c*a)^2}}{\left(a+b+c\right)^2-\left(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a\right)}\)
C = \(\dfrac{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}{a^2\cdot\left(b-c\right)+b^2\cdot\left(c-a\right)+c^2\cdot\left(a-b\right)}\)
\(C=\dfrac{\left(b-c+c-a\right)^3+3\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-c+c-a\right)+\left(a-b\right)^3}{a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{a^2b-b^2a-a^2c+b^2c+c^2a-c^2b}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{\left(a-b\right)\cdot ab-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(ab-ac-bc+c^2\right)}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)}=3\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b khác 0 thỏa mãn a+b
a, \(\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2\cdot\left(a\cdot b-2\right)}{a^2\cdot b^2+3}\)
b, \(\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2\cdot\left(b-a\right)}{a^2\cdot b^2+3}\)
CHO 3 SỐ A,B,C ĐÔI MỘT KHÁC NHAU. CMR:
\(\frac{B-C}{\left(A-B\right)\cdot\left(A-C\right)}+\frac{C-A}{\left(B-C\right)\cdot\left(B-A\right)}+\frac{A-B}{\left(C-A\right)\cdot\left(C-B\right)}=\frac{2}{A-B}+\frac{2}{B-C}+\frac{2}{C-A}\)
GIÚP MÌNH VỚI
không làm thì thôi đi rối mắt kệ các bạn chứ ai hỏi đâu mà phô ra
Đúng 0
Bình luận (0)
Thùy Giang : bn nói đúng , bọn này ngu mà cứ thích cmt linh tinh
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b khác 0 thỏa mãn a+b=1
a, \(\frac{a}{b^3-1}\)+\(\frac{b}{a^3-1}\)=\(\frac{2\cdot\left(a\cdot b-2\right)}{a^2\cdot b^2+3}\)
b,\(\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2\cdot\left(b-a\right)}{a^2\cdot b^2+3}\)