Cho a,b là các số thực .Cmr: \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)\(\)
Cho các số thực dương a,b và c thoả mãn: \(\dfrac{1}{a+2}\)+\(\dfrac{1}{b+2}\)+\(\dfrac{1}{c+2}\)\(\ge\dfrac{3}{2}\)
CMR: \(a+b+c\ge ab+bc+ca\)
\(\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}-1+\dfrac{2}{b+2}-1+\dfrac{2}{c+2}-1\ge2-3\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2a+b^2+2b+c^2+2c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Phía trên thoả mãn \(\ge1\) chứ không phải 3/2 đâu ạ
Cho các số thực dương thoả mãn:
\(\dfrac{1}{a+2}\) + \(\dfrac{1}{b+2}\)+ \(\dfrac{1}{c+2}\)\(\ge1\). CMR: \(a+b+c\ge ab+bc+ca\)
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR \(\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}\ge\sqrt{a^2+c^2+ac}\)
Ap dung bdt Mincopxki ta co
\(VT=\sqrt{\left(b-\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{c}{2}-b\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(b-\frac{a}{2}+\frac{c}{2}-b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a+c\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{c-a}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(a+c\right)^2}=\sqrt{a^2+c^2+ac}=VP\)
Cho a và b là 2 số thực dương
CMR\(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\) :
Trời ko ai giải dùm hả
Thôi chắc mình tự trả lời cho mn tham khảo quá.
Áp dụng BĐT Cauchy dạng :\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{x+y}\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi : x = y
Ta có :
\(ab+\frac{a}{b}\ge2.\sqrt{ab.\frac{a}{b}}=2\sqrt{a^2}=2a\)
Tương tự : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(ab+\frac{b}{a}\ge2b\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2\left(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\left(đpcm\right)\)
cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:\(a^2+b^2+c^2=1\)
CMR:\(\sqrt{a^2+b^2c^2}+\sqrt{b^2+c^2a^2}+\sqrt{c^2+a^2b^2}\ge ab+bc+ca+1\)
Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\sqrt{a^2+b^2c^2}=\sqrt{a^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+b^2c^2}=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(a^2+bc\right)^2}=a^2+bc\)
Tương tự: \(\sqrt{b^2+c^2a^2}\ge b^2+ca\)
\(\sqrt{c^2+a^2b^2}\ge c^2+ab\)
Cộng mại ta có: \(VT\ge ab+bc+ca+1\)
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
\(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\)
Vơi a, b, c là các số thực dương. CMR:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+ab}}+\dfrac{b}{\sqrt{c^2+bc}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+ca}}\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng BĐT Cosi:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+ab}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2\left(b^2+ab\right)}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{2b+a+b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{a+3b}\)
Cmtt: \(\dfrac{b}{\sqrt{c^2+bc}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}b}{b+3c};\dfrac{c}{\sqrt{a^2+ca}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}c}{c+3a}\)
\(\Leftrightarrow P\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge2\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
\(\frac{a}{\sqrt{ab+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{bc+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{ca+a^2}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Đặt đẳng thức là A. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\sqrt{2b\left(a-b\right)}\le\frac{2b+\left(a+b\right)}{2}=\frac{a+3b}{2}\)
Từ đó: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\)
Ta sẽ chứng minh: \(M=\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
Thật vậy, ta có: \(M=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ca}\)
Theo BĐT AM-GM ta có:
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng BĐT cauchy ta được:
\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{8}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Vì vậy: \(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
Từ đó ta có: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\ge2\sqrt{2}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Vậy đẳng thức xảy xa khi và chỉ khi a=b=c
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+ac+bc= 3. CMR:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng bđt AM-GM :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2+1}{\left(a^2+1\right)\cdot4}}=1\)
Tương tự ta có :
\(\frac{1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{4}\ge1\)
\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge1\)
Cộng từng vế ta có :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\ge3\)
Áp dụng bđt quen thuộc : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac=3\)
Khi đó : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
bạn làm sai rồi . Khi \(a^2+b^2+c^2\ge3\) bạn chuyển vế thì nó không cùng dấu với bất đẳng thức
cách này được ko. ( có tham khảo )
Không mất tính tổng quát, giả sử c = min ( a,b,c ).
Khi đó : ab + bc + ac = 3 \(\Rightarrow\)ab \(\ge\)1
CM với a,b > 0 và ab \(\ge\)1 thì \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\) ( tự c/m )
Ta có : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\)
ta cần c/m \(\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow c^2+3\ge3abc^2+ab\)\(\Leftrightarrow c^2+bc+ac\ge3abc^2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3abc\)
BĐT trên đúng vì theo AM-GM ta có : \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ac\right)}=3\)
và \(3=ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow3abc\le3\)
do đó ta có đpcm
Dấu "= " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1