a. Ta thấy \(\widehat{DAB}=\widehat{MAC}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{BAM}\)); \(\widehat{DBA}=\widehat{MCA}\)(Cùng phụ với góc \(\widehat{ABM}\))

Vậy nên \(\Delta CAM\sim\Delta BAD\left(g-g\right)\)

b. Do \(\Delta CAM\sim\Delta BAD\left(cma\right)\Rightarrow\frac{AM}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AD}{AB}\)

Mà \(\widehat{DAM}=\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\Delta ADM\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)

c. Ta thấy \(\widehat{ABM}=\widehat{ACE}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{ACM}\)); \(\widehat{BAM}=\widehat{CAE}\)(Cùng phụ với góc \(\widehat{MAC}\))

Vậy nên \(\Delta BAM\sim\Delta CAE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AE}{AM}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AM}{AB}\)

Từ câu b: \(\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}\)và ta vừa cm \(\frac{AE}{AC}=\frac{AM}{AB}\Rightarrow\frac{AD.AE}{AB.AC}=\frac{AM^2}{AC.AB}\Rightarrow AD.AE=AM^2\) 

d. Do \(AD.AE=AM^2;\widehat{DAM}=\widehat{MAE}=90^o\Rightarrow\Delta DAM\sim\Delta MAE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DMA}=\widehat{MEA}\Rightarrow\widehat{DME}=90^o\). Lại có \(\widehat{EDM}=\widehat{ABC}\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta MDE\left(g-g\right)\)

Để  \(\frac{S_{ABC}}{S_{MDE}}=\frac{1}{4}\Rightarrow\) tỉ số đồng dạng \(k=\frac{1}{2}.\)

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC, khi đó AM = 2AH \(\Rightarrow\widehat{AMB}=30^o.\)

Vậy M là một điểm thuộc AB sao cho \(\widehat{AMB}=30^o.\)

1c (2 câu kia em tự giải)

Kẻ đường cao AH \(\Rightarrow\) AH cố định

Do \(\widehat{MAF}\) và \(\widehat{MCF}\) cùng nhìn MF dưới 1 góc vuông nên tứ giác MAFC nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{AFM}=\widehat{ACM}\) (cùng chắn AM)

\(\Rightarrow\Delta_VFME\sim\Delta_VCAB\left(g.g\right)\) với tỉ số đồng dạng \(k=\dfrac{AM}{AH}\)

\(\Rightarrow S_{MEF}=k^2.S_{ABC}\Rightarrow S_{MEF-min}\) khi \(k_{min}\)

Mà trong tam giác vuông AHM ta có \(AH\le AM\Rightarrow k\ge1\Rightarrow k_{min}=1\) khi M trùng H

Hay diện tích MEF min khi M là chân đường cao từ A xuống BC

2.

Kẻ AG, CH song song EF (G, H cùng thuộc BD)

\(\widehat{OAG}=\widehat{OCH}\left(slt\right)\) ; OA=CO; \(\widehat{AOG}=\widehat{COH}\left(đđ\right)\Rightarrow\Delta AOG=\Delta COH\)

\(\Rightarrow OG=OH\)

Theo Talet:

\(\dfrac{BA}{BF}=\dfrac{BG}{BM}\) ; \(\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BH}{BM}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BG+BH}{BM}=\dfrac{\left(BO-OG\right)+\left(BO+OH\right)}{BM}=\dfrac{2BO}{BM}=4\)

b.

Tương tự câu a, ta có: \(\dfrac{BA}{AF}+\dfrac{DA}{AK}=4\Rightarrow\dfrac{BA}{AF}+\dfrac{BC}{AK}=4\)

\(\Rightarrow8=BA\left(\dfrac{1}{BF}+\dfrac{1}{AF}\right)+BC\left(\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{AK}\right)\ge\dfrac{4BA}{BF+AF}+\dfrac{4BC}{BE+AK}\)

\(\Rightarrow8\ge4+\dfrac{4BC}{BE+AK}\Rightarrow\dfrac{BC}{BE+AK}\le1\)

\(\Rightarrow BE+AK\ge BC\)

Dấu "=" xảy ra khi F là trung điểm AB