Đẳng thức này sai

Khẳng định a là khẳng định đúng

a) Biến đổi VT . Mẫu chung là ( a + 2b )( a - 2b )

\(VT=\frac{a+2b-6b-2\left(a-2b\right)}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 1 )

Biến đổi VP 

\(-\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}+1\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{a^2+4b^2+a^2-4b^2}{a^2-4b^2}\)

\(=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP ( đpcm )

b) \(a^3+b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)

<=> \(b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)-a^3\)( * )

Biến đổi VT của ( * ) ta có :

\(VT=\left[b+\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right]\left[b^2-\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}+\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}\right]\)

\(=\frac{3a^3b}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^6b^2+3a^3b^5+3b^8}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 1 )

\(VP=\left[\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}-a\right]\left[\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}+\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}+a^2\right]\)

\(=\frac{3ab^3}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^8+3a^5b^3+3a^2b^6}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP => ( * ) đúng 

=> Hằng đẳng thức đúng 

Chuẩn hóa \(a+b+c=3\) rồi dùng hệ số bất định nha bạn.Mình nhác quá chỉ gợi ý thôi.Nếu cần thì trưa mai đi học về mình làm cho.

Thấy có lời giải này hay hay nên mình copy lại nha (Trong sách Yếu tố ít nhất - Võ Quốc Bá Cẩn)

Một tài liệu khác cũng có kết quả với hướng làm giống thầy Cần:

Ta có: 2(x - 8)^3 = 2x^3 - 48x^2 + 384x - 1024

          2(8 - x)(8 - x)^2 = 2x^3 - 48x^2 + 384x - 1024

=> \(\frac{\left(x-8\right)^3}{2\left(8-x\right)}=\frac{\left(8-x\right)^2}{2}\) (đúng) =))

Sử dụng trường hợp riêng của BĐT Schur. Với a,b,c là các sooa thực ko âm và k>0 ta luôn có :

\(a^k\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^k\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^k\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)

Anh tth_new ơi,mẹ em bắt em dirichlet ạ :( Mẹ em còn chỉ em bài toán tổng quát là:

Cho a,b,c dương,CMR:\(m\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+3m+2\ge\left(2m+1\right)\left(a+b+c\right)\)

\(BĐT\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge5\left(a+b+c\right)\)

 Thôi,đi vào giải quyết bài toán.

Trong 3 số \(a-1;b-1;c-1\) có ít nhất 2 số cùng dấu,giả sử đó là \(a-1;b-1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Rightarrow abc\ge ac+bc-c\)

Khi đó BĐT tương đương với:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\)

Ta cần chứng minh:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\ge5\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c-2\right)^2+\left(c+a-2\right)^2+3\left(a-1\right)^2+3\left(b-1\right)^2+2\left(c-1\right)^2\ge0\) 

Hình như cái BĐT cuối đúng thì phải ạ.

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1

zZz Cool Kid_new zZz anh Cool Kid ơi, cha em hok có cho dùng Dirchlet ạ, nên em mới phải lên đây hỏi mn, còn cách trên của em thì xấu quá/

Giả sử cả 3 bđt trên đều đúng, như vậy  \(a\left(1-a\right).b\left(1-b\right).c\left(1-c\right)>\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)

Mặt khác vì  \(0< a,b,c< 1\)  nên:

\(0< a\left(1-a\right)=-a^2+a-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\)

Tương tự  \(0< b\left(1-b\right)\le\frac{1}{4}\)  và  \(0< c\left(1-c\right)\le\frac{1}{4}\)

Suy ra  \(a\left(1-a\right).b\left(1-b\right).c\left(1-c\right)\le\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)  (vô lý)

Vậy phải có ít nhất 1 bđt sai

Sai rồi thê này nè

a/ \(\frac{1}{a\left(a+1\right)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)

Ta co: \(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}=\frac{a+1-a}{a\left(a+1\right)}=\frac{1}{a\left(a+1\right)}\)

b/ \(\frac{2}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}=\frac{1}{a\left(a+1\right)}-\frac{1}{\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\)

Ta co: \(\frac{1}{a\left(a+1\right)}-\frac{1}{\left(a+1\right)\left(a+2\right)}=\frac{a+2-a}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}=\frac{2}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\)