Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Gọi D là điểm đối xứng của M qua đường thẳng PQ.
Chứng minh: D nằm trên đường tròn (O).
Lời giải:
Ta có:
$PM\parallel AC$ nên $\widehat{PMB}=\widehat{ACB}$
Mà $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{PBM}$ do tam giác $ABC$ cân nên $\widehat{PMB}=\widehat{PBM}$
$\Rightarrow \triangle PBM$ cân tại $P$
$\Rightarrow PB=PM$
Mà $PM=PD$ do tính đối xứng
$\Rightarrow PB=PM=PD$ nên $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $(DBM)$
$\Rightarrow \widehat{BDM}=\frac{1}{2}\widehat{BPM}$ (tính chất góc nt và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
$=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$
Tương tự, $Q$ cũng là tâm ngoại tiếp $(DCM)$
$\Rightarrow \widehat{MDC}=\frac{1}{2}\widehat{MQC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$
Như vậy:
$\widehat{BDC}=\widehat{BDM}+\widehat{MDC}=\widehat{BAC}$
Kéo theo $D\in (ABC)$
Ta có đpcm.
Từ một điểm P nằm trên cạnh đáy BC của tam giác ABC vẽ các tia Px, Py song song với các cạnh AB, AC cắt AC tại Q, R. Gọi D là điểm đối xứng với P qua QR. Chứng minh rằng D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, AC lần lượt cắt các cạnh AC, AB tại P và Q.
a) Gọi N là điểm đối xứng của M qua Q. Gỉa sử tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: Tứ giác AMBN là hình thoi.
c) Tam giác ABC có điều kiện giừ để tứu giác AMBN là hình vuông?
a: Xét tứ giác AMBN có
Q là trung điểm của AB
Q là trung điểm của MN
Do đó: AMBN là hình bình hành
mà MA=MB
nên AMBN là hình thoi
Cho điểm M thuộc đáy BC của tam giác cân ABC. Kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên cắt AB, AC lần lượt tại D, E . I là điểm đối xứng với m qua DE. Chứng minh :
a) I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b)Khi M di chuyển trên BC thì IM luôn đi qua 1 điểm cố định
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD=AE, các đường thẳng vuông góc vẽ từ A và E với CD cắt BC ở G và H. Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M. Đường thẳng vẽ từ A song song với BC cắt HM tại I.CMR:
a) Tam giác ACD= tam giác AME
b)Tam giác AGB= tam giác MIA
c)BG=GH
Cho tam giác ABC cân tại A,M là một điểm trên cạnh BC.Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cả cạnh AC tại D , đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.
a)Chứng minh tam giác MDC cân
b)Chứng Minh AE=CD
c) Lấy điểm F đối xứng với M qua đường thẳng DE.Tứ giác ADEF là hình gì?
d)Gọi K là giao điểm của DF và AB.Chứng minh chu vi tam giác AKD không phụ thuộc vị trí điểm M trên cạnh BC
1 Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Kẻ đường thẳng qua M và song song với AH cắt AB và AC lần lượt tại N và Q
a, CM tam giác ANQ cân
b, Tính các góc của tam giác ANQ biết góc ABC=70
c,Kẻ AI vuông góc với MQ. CM AI song song với BC và AI=MH
2 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M trên tia đối của tia CA lấy N sao cho AM+AN=2AB. CMR:
a, BM=CN
b,BC cắt MN tại trung điểm I của MN
. Cho tam giác ABC cân tại A, có AM là đường phân giác của góc A (M∈ BC). Từ M lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, các đường thẳng này cắt AC tại N, cắt AB tại E.
a) Chứng minh tứ giác AEMN là hình thoi.
b) Gọi D là điểm đối xứng của M qua N. Chứng minh tứ giác ADMB là hình bình hành.
MMỉm đang cần rất gấp giúp mỉm với
a) Do MN // AB (gt)
⇒ MN // AE
Do ME // AC (gt)
⇒ ME // AN
Do AM là tia phân giác của ∠BAC (gt)
⇒ AM là tia phân giác của ∠EAN
Xét tứ giác AEMN có:
MN // AE (cmt)
ME // AN (cmt)
⇒ AEMN là hình bình hành
Mà AM là tia phân giác của ∠EAN (cmt)
⇒ AEMN là hình thoi
b) Do D là điểm đối xứng của M qua N (gt)
⇒ N là trung điểm của DM
∆ABC cân tại A có AM là tia phân giác của ∠BAC (gt)
⇒ AM cũng là đường trung trực của ∆ABC
⇒ M là trung điểm của BC
∆ABC có:
M là trung điểm của BC (cmt)
MN // AB (gt)
⇒ N là trung điểm của AC
Tứ giác ADCM có:
N là trung điểm của DM (cmt)
N là trung điểm của AC (cmt)
⇒ ADCM là hình bình hành
⇒ AD // CM
⇒ AD // BM
Do MN // AB (gt)
⇒ MD // AB
Tứ giác ADMB có:
MD // AB (cmt)
AD // BM (cmt)
⇒ ADMB là hình bình hành
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn(AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BF và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt cắt cạnh BC tại D Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF. Đoạn thẳng SA cắt (O) tại M. Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng SA tại K, trên tia đối của tia BK lấy điểm L sao cho B là trung điểm của KL. Chứng minh ba điểm A, D, L thẳng hàng.
Gọi L' là giao của AD với BK
=>BL'//AC
=>BL;/AC=DB/DC
BL=BL'
BL=BK
=>BK=BL'
=>BK/AC=BK'/AC=DB/DC
mà BK/AC=SB/SC
nên cần chứng minh SB/SC=DB/DC
DB/DC*FC/FA*EA/EB=1
SB/SC*FC/FA*EA/EB=1
=>DB/DC=SB/SC
=>A,D,L thẳng hàng
