Xét ΔABC có 

BE là đường phân giác ứng với cạnh AC

nên \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}\left(1\right)\)

Xét ΔABC có 

CD là đường phân giác ứng với cạnh AB

nên \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AC}{BC}\left(2\right)\)

Ta có: ΔBAC cân tại A

nên \(AB=AC\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) suy ra \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)

hay DE//BC

Xét tứ giác BDEC có DE//BC

nên BDEC là hình thang

mà \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)

nên BDEC là hình thang cân

Xét ΔEDC có \(\widehat{EDC}=\widehat{ECD}\left(=\widehat{DCB}\right)\)

nên ΔEDC cân tại E

Suy ra: ED=EC=BD

a, BE=CD và BE vuông góc với CD.

b, KL là trung điểm cuarDE và AK=1/2BC.

a, Ta có : \(AD=AE\left(gt\right)\)

→ ΔADE là tam giác cân ở A

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}=\dfrac{180^0-40}{2}=70^0\)

Mà ΔABC cũng là tam giác cân 

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}=70^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=70^0\right)\)

mà  2 góc này ở vị trí so le  trong

\(\Rightarrow DE//BC\)

b, Xét ΔABE và ΔACD có :

\(AB=AC\left(\Delta ABC\cdot cân\right)\)

\(\widehat{A}:chung\)

\(AD=AE\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\)

c, Nối dài đoạn AI xuống BC, ta được đường phân giác AK của tam giác ABC.

Mà ΔABC cân ở A

→ AK là đường trung tuyến của tam giác ABC

→ AI cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC

AE=ED phải không bạn?

Đề bài phải sửa thành AE=ED

a/

Xét tg ABC

DE//AB (gt)

BD=CD (gt)

=> AE=CE (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) (1)

Mà DE=AE (gt) (2)

Từ (1) và (2) => DE=AE=CE (3)

Ta có

BD=CD (gt); AE=CE (cmt) => DE là đường trung bình của tg ABC

\(\Rightarrow DE=\dfrac{AB}{2}\) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow DE=AE=CE=\dfrac{AB}{2}\)

\(\Rightarrow AE+CE=AB\) Mà \(AE+CE=AC\Rightarrow AB=AC\)

=> tg ABC cân tại A

b/

Xét tg ABC có

AD là trung tuyến (gt)

AE=CE (cmt) => BE là trung tuyến

=> G là trọng tâm của tg ABC (Trong tg 3 đường trung tuyến đồng quy tại 1 điểm gọi là trọng tâm của tg)

a) Ta có : AE=ED

⇒ Δ EAD cân tại E

⇒ Góc ADE = Góc EAD

mà Góc ADE = Góc DAB (DE\(//\)  AB ⇒ 2 góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

⇒ Góc EAD = Góc DAB

⇒ AD là phân giác góc BAC

mà AD là trung tuyến Δ ABC (đề bài)

⇒ Δ ABC cân tại A

b) Ta có Góc EDC = Góc ABC (DE\(//\)  AB,góc đồng vị)

mà Góc ABC = Góc ACB

⇒ Góc ACB = Góc EDC

⇒ Δ EDC cân tại E

⇒ ED=EC

mà ED=AE (đề bài)

⇒ AE=EC

⇒ BE là trung tuyến Δ ABC

mà AD là trung tuyến Δ ABC (đề bài)

BE cắt AD tại G (đề bài)

⇒ G là trọng tâm Δ ABC

a) Xét \(\Delta ABC\): \(D\)là trung điểm của \(BC\), \(E\)là trung điểm của \(AC\)\(\Rightarrow\)\(ED\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

\(\Rightarrow ED\)//\(AB\)và \(ED=\frac{1}{2}AB\). \(F\)là trung điểm của \(AB\)\(\Rightarrow ED=AF=FB=\frac{1}{2}AB\)

\(ED\)//\(AB\Rightarrow ED\)//\(AF\Rightarrow ID\)//\(AF\). Mà \(FI\)//\(AD\).

\(\Rightarrow FI=AD\)và \(ID=AF\)(Tính chất đoạn chắn)

Mà \(ED=AF\Rightarrow ED=ID\).

Xét \(\Delta EDB\)và \(\Delta IDC:\)

\(DB=DC\)

\(\widehat{EDB}=\widehat{IDC}\)(Đối đỉnh)     \(\Rightarrow\Delta EDB=\Delta IDC\)\(\left(c.g.c\right)\)

\(ED=ID\)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{CID}\)(2 góc tương ứng) và 2 góc này nằm ở vị trí so le trong \(\Rightarrow IC\)//\(BE\)

Đồng thời \(IC=BE\)(2 cạnh tương ứng)

b) \(AD\)//\(FI\Rightarrow\widehat{AGE}=\widehat{FHG}\Rightarrow\widehat{FHG}=90^0\)(Đồng vị). Mà \(BE\)//\(IC\)\(\Rightarrow\widehat{FHB}=\widehat{FIC}=90^0\)(Đồng vị)

\(\Rightarrow\Delta ICF\)là tam giác vuông tại \(I\).

Ta có: \(FI=AD\),\(IC=BE\)(cmt) \(\Rightarrow FI+IC+CF=AD+BE+CF\)(đpcm)