\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=1+x^2+y^2+x^2y^2+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)+\left(x^2y^2+2xy+1\right)+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(1+xy\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x+y+1+xy\right)^2\) là SCP

(1+x²)(1+y²)+4xy+2(x+y)(1+xy)

 = 1+y²+x²+x²y²+2xy+2xy+2(x+y)(1+xy)

 =(x²+2xy+y²)+(x²y²+2xy+1)+2(x+y)(1+xy)

 =(x+y)²+(xy+1)²+2(x+y)(1+xy)

 =(x+y+xy+1)²

a) \(x^2+2xy+y^2+1\\ =\left(x+y\right)^2+1\\Do\left(x+y\right)^2>0\forall x\in R\\ \Rightarrow\left(x+y\right)^2+1>0\forall\in R\)

3b : Ta có : \(P=2x\left(x+y-1\right)+y^2+1=2x^2+2xy-2x+y^2+1\)

\(=x^2+2xy+y^2+x^2-2x+1=\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2\)

Vậy biểu thức luôn nhận giá trị ko âm với mọi x ; y 

Xét \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left[\left(x-y\right)+x\right]\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+x.\left(x^2+y^2+xy\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge x^3-y^3+x^3+xy^2+x^2y\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2.\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) ( Luôn đúng )

Vậy \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy ) 

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy ) 

\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)

Lời giải:

a.

Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$

$\Leftrightarrow x+2m=7$

$\Leftrightarrow x=7-2m$

$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$

Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$

Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$

Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:

$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$

Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$

b.

$xy>0$

$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$

$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$

$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$

Do $m$ nguyên nên $m=3$

Thử lại thấy đúng.

Theo đề bài ta có:

 ; 

cân bằng phương trình  bằng cách nhân x vào cả hai vế ta có:

cân bằng phương trình  bằng cách nhân y vào cả hai vế ta có:

cân bằng phương trình  bằng cách nhân z vào cả hai vế ta có:

vì 

Vì   Có cùng số mũ và bằng nhau

Nên các cơ số cũng bằng nhau

Ta có: \(x^2=y\cdot z\)

nên \(z=\dfrac{x^2}{y}\)(1)

Ta có: \(y^2=z\cdot x\)

nên \(z=\dfrac{y^2}{x}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x^2}{y}=\dfrac{y^2}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^3=y^3\)

hay x=y(3)

Ta có: \(x^2=y\cdot z\)

nên \(y=\dfrac{x^2}{z}\)(4)

Ta có: \(z^2=x\cdot y\)

nên \(y=\dfrac{z^2}{x}\)(5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{x^2}{z}=\dfrac{z^2}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^3=z^3\)

hay x=z(6)

Từ (3) và (6) suy ra x=y=z(đpcm)

\(x^2=yz\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{z}{x}\\ y^2=zx\Rightarrow\dfrac{y}{z}=\dfrac{x}{y}\\ z^2=xy\Rightarrow\dfrac{z}{x}=\dfrac{y}{z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}=\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}=1\\ \Rightarrow x=y=z\)