Kudo Shinichi gì mà ngu thế

Lời giải:

Sửa đề thành \(n\in\mathbb{N}\), vì nếu $n$ nguyên âm thì biểu thức không nguyên.

Đặt \(A=n^5+1999n+2017=n^5-n+2000n+2017\)

\(=n(n^4-1)+2000n+2017\)

\(=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2017\)

--------------

Ta biết đến tính chất rất quen thuộc là một số chính phương chia $5$ thì dư $0,1$ hoặc $4$

Nếu \(n^2\equiv 0\pmod 5\Rightarrow n\equiv 0\pmod 5\) (do $5$ là snt)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Nếu \(n^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow n^2-1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Nếu \(n^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow n^2+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Tóm lại \(n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n\in\mathbb{N}\)

\(\Rightarrow A=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2015+2\) chia $5$ dư $2$. Do đó $A$ không thể là scp vì scp chia $5$ dư $0,1$ hoặc $4$

Ta có đpcm.

Ta thấy: \(n^2-n+2=n^2-\frac{1}{2}.2.n+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\)

Vì (n-1/2)^2 là số chính phương mà 7/4 ko là số chính phương nên x^2 - n + 2 không phải là số chính phương với mọi n >= 2

\(B=\left(n-1\right)\left(n+5\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)+16\)

\(=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n+3\right)+16\)

\(=\left(n^2+4n\right)^2-2\left(n^2+4n\right)-15+16\)

\(=\left(n^2+4n-1\right)^2\) là số chính phương

\(B=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left[\left(n-1\right)\left(n+5\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+3\right)\right]+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n+3\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n-5+8\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)^2+8\left(n^2+4n-5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5+4\right)^2\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-1\right)^2\)

Vậy B là số chính phương với mọi số nguyên n