\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{\left(a+b+c\right)c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)c=-\left(a+b\right)ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)

Tự làm nốt

ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2015}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{2015}\)

\(\Rightarrow2015\left(ab+bc+ac\right)=abc\)

mà a+b+c=2015 \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow b\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+ac\left(a+c\right)+abc-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Rightarrow a+c=0\Rightarrow b=2015;b+c=0\Rightarrow a=2015;a+c=0\Rightarrow b=2015\)

VẬy.......

lớp 6 mà

lớp 9 đó

\(a)\) Ta có : 

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{1}{2015}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\left(a+b+c\right).\frac{1}{2015}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{a+b+c}{2015}\)

\(\Leftrightarrow\)\(1+\frac{c}{a+b}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{a}{b+c}=\frac{2015}{2015}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1-3\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=-2\)

Vậy ...

Từ gt , ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{c\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)=-\left(a+b\right)ab\)

\(\Rightarrow0=\left(a+b\right)\left(ca+cb+c^2\right)-\left[-\left(a+b\right)ab\right]=\left(a+b\right)\left(ca+cb+c^2+ab\right)=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(\Rightarrow a+b=0\) hoặc \(c+a=0\) . Gỉa sử \(a=-b\) thì \(a^{15}=-b^{15}\) nên \(a^{15}+b^{15}=0\)

\(\Rightarrow N=0\)

Từ gt,ta có :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{c\left(a+b+c\right)}\Rightarrow\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)=-\left(a+b\right)ab\)

=> 0 = (a + b)(ca + cb + c²) - [-(a + b)ab] = (a + b)(ca + cb + c² + ab) = (a + b)(c + a)(c + b)

=> a + b = 0 hoặc c + a = 0 hay c + b = 0.Giả sử a = -b thì a¹⁵ = -b¹⁵ nên a¹⁵ + b¹⁵ = 0 => N = 0

Vì  \(a,b,c\)  lần lượt là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cho trước nên suy ra  \(a,b,c>0\)

\(----------------\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho hai số dương, ta có:

\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)a^{2014}\ge2\sqrt{\frac{a^{2016}}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)a^{2014}}=2a^{2015}\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+a^{2014}b+ca^{2014}\ge3a^{2015}\)  \(\left(1\right)\)

Theo đó, ta cũng thiết lập tương tự hai bất đẳng thức mới bắt đầu với các hoán vị  \(b\rightarrow c\rightarrow a,\)   thu được:

\(\frac{b^{2016}}{c+a-b}+b^{2014}c+ab^{2014}\ge3b^{2015}\)  \(\left(2\right)\)

\(\frac{c^{2016}}{a+b-c}+c^{2014}a+bc^{2014}\ge3c^{2015}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng ba bất đẳng thức  \(\left(1\right);\left(2\right)\)  và   \(\left(3\right),\) đồng thời chuyển vế,  khi đó bđt mới có dạng:

\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge3\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\) 

\(-\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\)  \(\left(\alpha\right)\)

\(----------------\)

Mặt khác, lại theo bđt  \(AM-GM,\)   ta có:

\(\Omega_1:\)  \(2014a^{2015}+b^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(a^{2014}b\right)^{2015}}=2015a^{2014}b\)

\(\Omega_2:\)  \(2014b^{2015}+a^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(b^{2014}a\right)^{2015}}=2015b^{2014}a\)

Cộng từng vế của hai bđt ở trên và rút gọn, khi đó:     

\(a^{2015}+b^{2015}\ge a^{2014}b+b^{2014}a=ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)\)    \(\left(1^'\right)\)

Tương tự ta thực hiện các dãy biến đổi như trên, nhận được:  

\(b^{2015}+c^{2015}\ge bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)\)  \(\left(2^'\right)\)

\(c^{2015}+a^{2015}\ge ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\)  \(\left(3^'\right)\)

Từ   \(\left(1^'\right);\left(2^'\right)\)  và  \(\left(3^'\right)\)  suy ra  \(2\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\ge\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\)   \(\left(\beta\right)\)

\(----------------\)

\(\left(\alpha\right);\beta\)  \(\Rightarrow\)  \(đpcm\)

Dấu  \("="\)  xảy ra   \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c,\)   tức là tam giác khi đó phải là một tam giác đều!