a) P = 1 + 3 + 3² + ... + 3¹⁰¹

= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹)

= 13 + 3³.(1 + 3 + 3²) + ... + 3⁹⁹.(1 + 3 + 3²)

= 13 + 3³.13 + ... + 3⁹⁹.13

= 13.(1 + 3³ + ... + 3⁹⁹) ⋮ 13

Vậy P ⋮ 13

b) B = 1 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰²⁰

= (1 + 2² + 2⁴) + (2⁶ + 2⁸ + 2¹⁰) + ... + (2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰²⁰)

= 21 + 2⁶.(1 + 2² + 2⁴) + ... + 2²⁰¹⁶.(1 + 2² + 2⁴)

= 21 + 2⁶.21 + ... + 2²⁰¹⁶.21

= 21.(1 + 2⁶ + ... + 2²⁰¹⁶) ⋮ 21

Vậy B ⋮ 21

c) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

= 30 + 2⁴.(2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2¹⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= 30 + 2⁴.30 + ... + 2¹⁶.30

= 30.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶)

= 5.6.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

d) A = 1 + 4 + 4² + ... + 4⁹⁸

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + ... + (4⁹⁷ + 4⁹⁸ + 4⁹⁹)

= 21 + 4³.(1 + 4 + 4²) + ... + 4⁹⁷.(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + ... + 4⁹⁷.21

= 21.(1 + 4³ + ... + 4⁹⁷) ⋮ 21

Vậy A ⋮ 21

e) A = 11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + ... + 11 + 1

= (11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + 11⁶ + 11⁵) + (11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1)

= 11⁵.(11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1) + 16105

= 11⁵.16105 + 16105

= 16105.(11⁵ + 1)

= 5.3221.(11⁵ + 1) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

2.

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )

Tương tự.......................

1. Xét hiệu : \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)

Lại có: b - a < 0 ( a > b)

ab >0 ( a>0, b > 0)

\(\Rightarrow\dfrac{b-a}{ab}< 0\)

Vậy: \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

2. Xét hiệu : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}-2ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)

Vậy : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b

3. Xét hiệu : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)

Vậy : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b

A+B=a+b-5+(-b-c+1)=a+b-5-b-c+1=a-c-4  (1)

C-D=b-c-4-(b-a)=b-c-4-b+a=a-c-4  (2)

từ (1) và (2) suy ra A+B=C-D

Em cảm ơn cô

\(1,Y=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{96}+3^{97}+3^{98}\right)\\ Y=\left(1+3+3^2\right)\left(1+3^3+...+3^{96}\right)\\ Y=13\left(1+3^3+...+3^{96}\right)⋮13\\ 2,A=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2018}+3^{2019}\right)\\ A=\left(1+3\right)\left(1+3^2+...+3^{2019}\right)\\ A=4\left(1+3^2+...+3^{2019}\right)⋮4\\ 3,\Leftrightarrow2\left(x+4\right)=60\Leftrightarrow x+4=30\Leftrightarrow x=36\)

Lời giải:
a. Ta thấy:

$3+3^2+3^3+...+3^{99}\vdots 3$

$1\not\vdots 3$

$\Rightarrow A=1+3+3^2+...+3^{99}\not\vdots 3$

$\Rightarrow A\not\vdots 9$

b.

$A=(5+5^2)+(5^3+5^4)+...+(5^{39}+5^{40})$

$=5(1+5)+5^3(1+5)+...+5^{39}(1+5)$

$=5.6+5^3.6+....+5^{39}.6$

$=6(5+5^3+...+5^{39})$

$=2.3.(5+5^3+...+5^{39})$

$\Rightarrow A\vdots 2$ và $A\vdots 3$

Gọi d là \(\left(ƯC_{ab;a+b}\right)\) Theo đề bài ra ta có:

\(ab⋮d\)

\(\Rightarrow\)a hoặc b đều chia hết cho d

mà a+b chia hết cho d

\(\Rightarrow a;b\)đều chia hết cho d

\(\Rightarrow\left(a;b\right)>1\)(trái giả thuyết)

\(\Rightarrow\left(ab;a+b\right)⋮d\) (đpcm)

a,

a= 2¹ + 2² + 2³ + ....+ 2³⁰ 

a= ( 2¹+2² ) + (2³ + 2⁴ ) + ...+ ( 2²⁹ + 2³⁰ )

a = 2¹ (1+2) + 2³(1+2) + ...+ 2²⁹(1+2)

a = 2¹.3 + 2³ .3 + ...+ 2²⁹ .3 

a = 3 ( 2^{1 +} 2³ + ..+ 2²⁹ ) \(⋮\)  3 

Vậy a chia hết cho 3 

a =  2¹ + 2² + 2³ + ....+ 2³⁰  

a = ( 2¹ + 2² + 2³ ) + ....+ ( 2²⁸ + 2²⁹ + 2³⁰ )

a = 2¹(1+2+2²) + .....+ 2²⁸(1+2+2² )

a = 2¹ . 7 + ...+ 2²⁸.7 

a = 7 (2¹ + ..+2²⁸) \(⋮\) 7 

Vậy a chia hết cho 7 

Vì a chia hết cho 3 và 7 nên a sẽ chia hết cho 21 

b, 

a = 8⁸ + 2²⁰

a = (2³)⁸ + 2²⁰

a = 2²⁴ + 2²⁰

a = 2²⁰ . 2⁴ + 2²⁰

a=2²⁰(2⁴ + 1)

a= 2²⁰ . 17 \(⋮\) 17 

=> đpcm

a)Nếu n=2k(kEN)

thì n²+n+1=4k^2+2k+1(ko chia hết cho 2, vì 1 ko chia hết cho 2)

Nếu n=2k+1(kEN)

thì n²+n+1=n(n+1)+1=(2k+1)(2k+1+1)+1=(2k+1)(2k+2)+1=(2k)(2k+2)+2k+2+1=4k^2+4k+2k+2+1=4k^2+6k+3(ko chia hết cho 2 vì 3 ko chia hết cho 2)

Vậy với mọi nEN thì n²+n+1 ko chia hết cho 2

b)n(n+1)(5n+1)=(n²+n)(5n+1)=5n³+n²+5n²+n

Nếu n=2k(kEN )

thì n(n+1)(5n+1)=10k³+2k²+10k²+2k(chia hết cho 2)

Nếu n=2k+1(kEN)

thì n(n+1)(5n+1)=5(2k+1)³+(2k+1)+5(2k+1)²+2k+1=...................................

tương tự, n=3k;3k+1;3k+2

mỏi tay chết đi được, mấy con số còn bay đi lung tung