Cho x,y>0,x+y=1.CM:`A=(x+1/x)^2+(y+1/y)^2>=25/2`

`A=x^2+1/x^2+2+y^2+1/y^2+2`

`=x^2+y^2+1/x^2+1/y^2+4`

`=(x^2+1/(16x^2))+(y^2+1/(16y^2))+4+15/16(1/x^2+1/y^2)`

Áp dụng BĐt cosi và `1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

`=>A>=1/2+1/2+4+15/16(8/(x+y)^2)`

`<=>A>=5+15/2=25/2`

Dấu "=" `<=>x=y=1/2`

Không làm theo cách sau:

1.Cho x^2+ 4x+1 = 0

Tính A= ( x + 1/x )^2 + (x^2 + 1/x^2 )^2 + ( x^3+ 1/x^3 )^2

2.Cho các số thực x, y khác 0 sao cho x+ 1/y và y+ 1/x là những số nguyên . CMR x^3y^3 + 1/x^3y^3 là số nguyên.

3.Cho x,y,z khác 0 tm x(y+z)^2+y(z+x)^2+z(x+y)^2=4xyz

1. Cho x² +y² =1. Tìm min A= (3-x) (3-y).

2. cho x,y >0, 2xy-4= x+y. Tìm min P=xy+ 1/ x² +1/ y^2.

3.Cho x>=3, y>= 3. Tìm min A= 21*(x+1/y) +3*(y+1/x).

4. Cho x,y >0, x^2+ y^2= 1.Tìm min x+y+1/x+1/y.

5. Cho a,b>0, a+b+3ab=1. Tìm min A= 6ab/ (a+b) -a^2-b^2

cho x^2+y^2+z^2=5/2 va x,y,z>0 cm 1/x+1/y<1/xyz+1/z\(cho x^2+y^2+z^2=5/2 va x,y,z>0 cm 1/x+1/y<1/xyz+1/z\)

a, cho x-y=2 tinh <x-1>^2+<y+1>^2=2xy

b, cho x-1/2=ytinh x^3-8y^3=6xy

c,cho x^2-y=2va xy =2 tinh x^2+y^2

Cho x,y khác nhau thỏa mãn x+\(\frac{1}{x}\)=y+\(\frac{1}{y}\).Chứng minh rằng:

\(\frac{x}{x^2+1}\)+\(\frac{y}{y^2+1}\)=\(\frac{2\left(x+y\right)}{x^2+y^2+2}\)

Cho x y thỏa mãn x+y+1/x+1/y=8

x^2+y^2+1/x^2+1/y^2=30

Tính P=x^3+y^3+1/x^3+1/y^3

Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 . Tìm MinP = ∑ \(\dfrac{1}{x+y+1}\)

Cho x,y,z>0 và x+y+z =1 . Tìm Min A = ∑ \(\dfrac{x}{y^2+x^2+1}\)

cho x,y thỏa mãn :

\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=2\)

Tính :

\(Q=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\)

1. cho x^2+y^2=1. tìm Min Max x+y

2. cho xy=1 x>y. tìm min (x^2+y^2)/(x-y)