cho A nằm ngoài đường tròn (O). qua A kẻ tiếp tuyến AM và AN với (O). lấy B thuộc cung nhỏ MN, tiếp tuyến tại B cắt AM tại E; OE và OF cắt MN lần lượt tại H và K. chứng minh rằng:
a) MON=2EOF
b) tứ giác EHKF nội tiếp
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) thỏa mãn OA = 3R, kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn, M và N là hai tiếp điểm. Qua E thuộc cung nhỏ MN, kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn (O) cắt AM, AN lần lượt tại H và K. Tính chu vi tam giác AHK theo R. (gợi ý: Tính độ dài AM, AN theo R)
Cho điểm A nằm ngoài (O).Qua A kẻ các tiếp tuyến của AM và AN với (O).Lấy điểm B thuộc cung nhỏ MN, tiếp tuyên tại B cắt AM tại E, cắt AN tại F ; OE và OF cắt MN lần luotjw tại H và K.CMR
a.\(\widehat{MON}\)=2\(\widehat{FOE}\)
b.Tứ giác EHKF nội tiếp
c.HK//EF không đổi khi điểm B thay đổi trên cung nhỏ MN
câu a có EM ,EM là hai tiếp tuyến của (o)
suy ra +)EM=EB
+) OE là tia phân giác của \(\widehat{BOM}\)
Có OE là phân giác của \(\widehat{BOM}\)nên suy ra \(\widehat{BOE}\)=\(\frac{1}{2}\widehat{MOB}\)
Chứng minh tương tự ta có \(\widehat{BOF}=\frac{1}{2}\widehat{BON}\)
từ đó suy ra \(\widehat{BOE}+\widehat{BOF}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BOM}+\widehat{BON}\right)=\frac{1}{2}\widehat{MON}\)
suy ra góc EOF=1/2 góc MON
Cho đường tròn (O,R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O)> Vẽ tiếp tuyến AM , AN với (O) .Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với MN cắt AM tại B , cắt AN tại C. chứng minh rằng
a) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMN với I là giao điểm của AO với (O)
b) tứ giác MNCB là hình thang cân
c) MA.MB=R2
d) lấy D thuộc cung nhỏ MN . Vẽ tiếp tuyến qua D của (O) cắt AM,AN lần lượt tại P và Q . chứng minh BP.CQ=BC2/4
Từ A ngoài đường tròn tâm O, kẻ 2 tia tiếp tuyến AM , AN. Biết góc MAN = a• ( không đổi ) . Từ I bất ki trên cung nhỏ MN. Vẽ tiếp tuyến cắt AM , AN lần lượt tại B và C. OB và OC cắt đường tròn O tại D và E. Cm : Cung DE không đổi khi I chạy trên cung MN
theo đề bài ta có góc MOB=BOI VÀ NOC=IOC ==> BOC=1/2MON
Ta có MON+A=180 độ
==>2BOC=180-A
==>BOC=90-A/2
MÀ 90-A/2 KO ĐỔI ==>BOC KO ĐỔI
MÀ BOC=DOE =>DOE KO ĐỔI ==> DCCM
Từ A ngoài đường tròn tâm O, kẻ 2 tia tiếp tuyến AM , AN. Biết góc MAN = a• ( không đổi ) . Từ I bất ki trên cung nhỏ MN. Vẽ tiếp tuyến cắt AM , AN lần lượt tại B và C. OB và OC cắt đường tròn O tại D và E. Cm : Cung DE không đổi khi I chạy trên cung MN
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến AM,AN với đường tròn tâm O . Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với MN cắt AM tại B và cắt AN tại C .
a, Gọi I là giao điểm của AC và đường tròn tâm O. CMR: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMN
b,CM tứ giác MNCB là hình thang cân
c, CM: MA.MB=R2
d, Lấy D thuộc cung nhỏ MN vẽ tiếp tuyến đường tròn tâm O qua D cắt AM,AN lần lượt tại P và Q . CM: BP.CQ=BC2/4
làm được xong ý c rồi còn ý d nữa bn làm dc ko giúp mik vs
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MC với đường tròn (A, C là tiếp điểm). Qua M kẻ các tuyến MBD (B thuộc cung nhỏ AC). Tiếp tuyến tại B với đường tròn (O) cắt MC tại N và cắt CD tại P; ND cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh rằng ba điểm A, E, P thẳng hàng
Dễ thấy \(\Delta MCB~\Delta MDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MC}{MD}=\frac{BC}{CD}\)( 1 )
\(\Delta MAB~\Delta MDA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MA}{MD}=\frac{AB}{AD}\)( 2 )
Lại có MA = MC . Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AD.BC=AB.CD\)
Áp dụng định lí Ploleme với tứ giác ABCD, ta có :
\(AB.CD+AD.BC=AC.BD\)
\(\Rightarrow BC.AD=AC.BD-AB.CD=\frac{1}{2}AC.BD\)
\(\Rightarrow\frac{AC}{AD}=\frac{2BC}{BD}\)( 3 )
\(\Delta NBE~\Delta NDB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NB}{ND}=\frac{BE}{DB}\); \(\Delta NCE~\Delta NDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NC}{ND}=\frac{CE}{CD}\)
lại có : NB = NC \(\Rightarrow\frac{BE}{BD}=\frac{CE}{CD}\Rightarrow BE.CD=CE.BD\)
Áp dụng định lí Ptoleme với tứ giác BECD, ta có :
\(BE.CD+CE.BD=BC.DE\Rightarrow BE.CD=CE.BD=\frac{1}{2}BC.DE\)
\(\Delta PBC~\Delta PDB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{PC}{PB}=\frac{PB}{PD}\Rightarrow PC.PD=PB^2\)
Mà \(\frac{PC}{PB}=\frac{PB}{PD}=\frac{BC}{BD}\)
Mặt khác : \(\frac{PC}{PD}=\frac{PC.PD}{PD^2}=\left(\frac{PB}{PD}\right)^2=\left(\frac{BC}{BD}\right)^2\)( 4 )
suy ra : \(\frac{PC}{PD}=\left(\frac{BC}{BD}\right)^2=\left(\frac{2CE}{DE}\right)^2\)
giả sử AE cắt CD tại Q
\(\Rightarrow\Delta QEC~\Delta QDA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{QC}{QD}=\left(\frac{2CE}{DE}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{QC}{QD}=\frac{PC}{PD}\Rightarrow P\equiv Q\)
Vậy 3 điểm A,E,P thẳng hàng
v mình quên nối AE cắt CD. hay là nối 3 điểm A,E,P mà thôi, không sao.
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn (M là tiếp điểm). Kẻ dây MN vuông góc với AO tại H. Kẻ đường thẳng đi qua A cắt đường tròn tại B,C(điểm B nằm giữa A và C). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh 4 điểm B,C,O,K cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Chứng minh OI.OK=ON² d) Chứng minh M,N,K thẳng hàng.
a: Xét tứ giác OBKC có \(\widehat{OBK}+\widehat{OCK}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBKC là tứ giác nội tiếp
=>O,B,K,C cùng thuộc một đường tròn
b: Ta có: ΔOMN cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc MON
Xét ΔMOA và ΔNOA có
OM=ON
\(\widehat{MOA}=\widehat{NOA}\)
OA chung
Do đó: ΔMOA=ΔNOA
=>\(\widehat{OMA}=\widehat{ONA}\)
=>\(\widehat{ONA}=90^0\)
=>AN là tiếp tuyến của (O)
c: Xét (O) có
KB,KC là tiếp tuyến
Do đó: KB=KC
=>K nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của BC
=>OK\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm của BC
Xét ΔOBK vuông tại B có BI là đường cao
nên \(OI\cdot OK=OB^2\)
=>\(OI\cdot OK=ON^2\left(3\right)\)
d: Xét ΔNOA vuông tại N có NH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=ON^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(OI\cdot OK=OH\cdot OA\)
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
Xét ΔOIA và ΔOHK có
\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
\(\widehat{HOK}\) chung
Do đó: ΔOIA đồng dạng với ΔOHK
=>\(\widehat{OIA}=\widehat{OHK}\)
=>\(\widehat{OHK}=90^0\)
mà \(\widehat{OHM}=90^0\)
nên K,H,M thẳng hàng
mà M,H,N thẳng hàng
nên K,M,N thẳng hàng
1 cho A nằm ngoài đường tròn (O). qua A kẻ tiếp tuyến AM và AN với (O). lấy B thuộc cung nhỏ MN, tiếp tuyến tại B cắt AM tại E; OE và OF cắt MN lần lượt tại H và K. chứng minh rằng:
a) MON=2EOF
b) tứ giác EHKF nội tiếp
2 .
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; tia BE cắt tia Ax tại H, cắt AM tại K.
a/ CMR BE là tia phân giác của góc ABM
b/ CMR BAF là tam giác cân
c/ CMR tứ giác AKFH là hình thoi
3 .
Giải phương trình:
(x+2)^ 2 (x^2+4x)=5