b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100\)

=>\(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{4}=\dfrac{DC}{3}\)

mà DB+DC=10

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{4}=\dfrac{DC}{3}=\dfrac{DB+DC}{4+3}=\dfrac{10}{7}\)

=>\(DB=4\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{40}{7}\left(cm\right);DC=3\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{30}{7}\left(cm\right)\)

b: Ta có: DE\(\perp\)AB

AC\(\perp\)AB

Do đó: DE//AC

Xét ΔABC có DE//AC

nên \(\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\)

=>\(\dfrac{DE}{6}=\dfrac{40}{7}:10=\dfrac{4}{7}\)

=>DE=24/7(cm)

Ta có: \(\widehat{EDA}=\widehat{DAC}\)(hai góc so le trong, ED//AC)

\(\widehat{DAC}=\widehat{DAE}\)

Do đó: \(\widehat{EDA}=\widehat{EAD}\)

=>EA=ED=24/7(cm)

ΔAEC vuông tại A

=>\(AE^2+AC^2=EC^2\)

=>\(EC^2=\left(\dfrac{24}{7}\right)^2+6^2=\dfrac{2340}{49}\)

=>\(EC=\dfrac{6\sqrt{65}}{7}\left(cm\right)\)

1: Xét tứ giác AMDN có

góc AMD=góc AND=góc MAN=90 độ

AD là phan giác

=>AMDN là hình vuông

2: BC=căn 3^2+4^2=5cm

AD là phân giác

=>DB/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=(BD+CD)/(3+4)=5/7

=>BD=15/7cm; CD=20/7cm

a) Ta thấy: Tam giác ABC vuông tại A; DN vuông góc AC=> DN//AB =>  \(\frac{DF}{FN}=\frac{BM}{AM}\)(Hệ quả của ĐL Thales) (1)

Lại có:  DM vuông góc AB; ^BAC=90⁰ => DM//AC hay EM//AN => \(\frac{BM}{AM}=\frac{BE}{EN}\)(ĐL Thales) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{DF}{FN}=\frac{BE}{EN}\)=> \(EF\)//\(BD\)(ĐL Thales đảo)

hay \(EF\)//\(BC\)(đpcm)

b) Dễdàng c/m được: Tứ giác AMDN là hình vuông =>  AM=MD=DN=AN

Gọi giao điểm của AE và FM là O

Ta có: \(\frac{DF}{DN}=\frac{BM}{AB}=\frac{BD}{BC}\)(Hệ quả ĐL Thales) (3)

Tương tự: \(\frac{EM}{MD}=\frac{AN}{AC}=\frac{BD}{BC}\)(4)

Từ (3) và (4) => \(\frac{DF}{DN}=\frac{EM}{MD}\)Mà DN=MD => DF=EM.

Xét \(\Delta\)AME và \(\Delta\)MDF:

AM=MD

^AME=^MDF         => \(\Delta\)AME=\(\Delta\)MDF (c.g.c) => ^MAE=^DMF (2 góc tương ứng)

EM=DF (cmt)

Lại có: ^MAE+^MEA=90⁰ => ^DMF+MEA=90⁰ hay ^EMO+^MEO=90⁰

Xét \(\Delta\)MEO: ^EMO+^MEO=90⁰ =. \(\Delta\)MEO vuông tại O => FM vuông góc với AE

Tương tự ta c/m được EN vuông góc với AF 

=> FM và EN là 2 đường cao của tam giác AEF. mà 2 đoạn này cắt nhau tại K

Vậy K là trực tâm tam giác AEF (đpcm).

c) Gọi BI giao AD tại H

K là trực tâm tam giác AEF (cmt) => AK vuông góc EF .Mà EF//BC (cmt) => AK vuông góc với BC

hay AK vuông góc với BD

Xét tam giác BAD:

AK vuông góc BD

DM vuông góc AB          => I là trực tâm tam giác BAD

AK cắt DM tại I

=> BI vuông góc AD => IH vuông góc với AD. 

Lại có ^HDI=^ADM=45⁰ => Tam giác IHD vuông cân tại H

=> ^HID = 45⁰ => ^BID=135⁰.

Vậy ^BID=135⁰.

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)