Câu 1: 

\(sin^2x+cos^2x=1\Leftrightarrow cos^2x=1-sin^2x=1-\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{15}\)

\(\Leftrightarrow cos^2x=\frac{\pm3}{5}\).

Câu 2: 

Đường tròn \(\left(C\right)\)có tâm \(I\left(2,-1\right)\)bán kính \(R=\sqrt{25}=5\).

Gọi \(d\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(C\right)\)tại điểm \(M\). Khi đó \(IM\)và \(d\)vuông góc với nhau.

\(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(3,4\right)\)là một vector pháp tuyến của \(d\)

Suy ra phương trình \(d:3\left(x-5\right)+4\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow3x+4y-27=0\).

\(PT\left(C\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-7\right)^2=85\)

\(\Rightarrow\) Tâm \(I\left(-1;7\right)\) và bán kính là \(\sqrt{85}\)

PT tiếp tuyến qua \(M\left(1;-2\right)\Rightarrow x_0=1,y_0=-2\)

\(PT\) tiếp tuyến có dạng \(\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-1-1\right)\left(x-1\right)+\left(7+2\right)\left(y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-1\right)+9\left(y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+2+9y+18=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+9y+20=0\)

a) Ta có \(I\left( {2; - 3} \right)\) và \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)}  = 5\)

b) Ta có: \({5^2} + {1^2} - 4.5 + 6.1 - 12 = 0\). Suy ra M thuộc \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến d của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {IM}  = \left( {3;4} \right)\), đồng thời d đi qua điểm \(M\left( {5;1} \right)\).

Vậy phương trình  của d là  \(3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 19 = 0\).

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) vào phương trình đường tròn ta được: \({\left( {4 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 25\). Vậy điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 5\).

c) Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 4} \right)\). Vậy phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

\(3\left( {x - 4} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 20 = 0\)

a/

Xét tg vuông OAC và tg vuông OMC có

OA=OM=R

OC chung

=> tg OAC = tg OMC  (Hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{MOC}=\dfrac{\widehat{AOM}}{2}\)

Tương tự ta cũng có

tg OBD = tg OMD \(\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{MOD}=\dfrac{\widehat{BOM}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{MOC}+\widehat{MOD}=\widehat{COD}=\dfrac{\widehat{AOM}}{2}+\dfrac{\widehat{BOM}}{2}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

b/

AB+BD nhỏ nhất khi \(M\equiv B\)

a: Xét tứ giác BOCE có \(\widehat{EBO}+\widehat{ECO}=90^0+90^0=180^0\)

nên BOCE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính EO

Tâm là trung điểm của EO

Bán kính là EO/2

b: Xét (O) có

DA,DC là các tiếp tuyến

Do đó: DA=DC

=>D nằm trên đường trung trực của AC

Xét (O) có

DA,DC là các tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc AOC

=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{COD}\)

Xét (O) có

EC,EB là các tiếp tuyến

Do đó: OE là phân giác của góc COB

=>\(\widehat{COB}=2\cdot\widehat{COE}\)

Xét (O) có

EC,EB là các tiếp tuyến

Do đó: EC=EB

Ta có: \(\widehat{COA}+\widehat{COB}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{COD}+\widehat{COE}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{DOE}=180^0\)

=>\(\widehat{DOE}=90^0\)

Xét ΔDOE vuông tại O có OC là đường cao

nên \(CD\cdot CE=OC^2\)

mà CD=DA và CE=EB

nên \(DA\cdot EB=OC^2\)

=>\(4\cdot DA\cdot EB=4\cdot OC^2=\left(2\cdot OC\right)^2=AB^2\)