Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(0;-1\right)\)

Gọi vtpt của đường thẳng CM (cũng là đường cao kẻ từ C) có tọa độ \(\left(a;b\right)\)

H là chân đường cao kẻ từ B

\(cos\widehat{HBC}=\dfrac{\left|1.1+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{MCB}=cos\widehat{HBC}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+1^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\left|a+b\right|\Leftrightarrow a^2+b^2=5\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+5ab+2b^2=0\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(2a+b\right)=0\)

Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\) (trường hợp (1;-2) loại do song song BH)

\(\Rightarrow\) Phương trình đường cao kẻ từ C:

\(2\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-3=0\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(...\right)\)

Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow\) tọa độ N

Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AN là trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\) Đường thẳng AN vuông góc BC \(\Rightarrow\) nhận (1;-1) là 1 vtpt và đi qua N

\(\Rightarrow\) Phương trình AN

Đường thẳng AB vuông góc CM nên nhận (1;2) là 1 vtpt

\(\Rightarrow\) Phương trình AB (đi qua B và biết vtpt)

\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AB và AN

Gọi H là chân đường cao từ C

Gọi D là trung điểm của BC \(D \in (d) \) với \((d)\) là đường trung trực của D

Do AB và CH vuông góc với nhau nên AH có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1,1\right)\) mà A(4,-2)

\(\Rightarrow\) Phương trình AB là:

\(x-4+y-(-2)=0 \Leftrightarrow x+y-2=0\)

Do \(B\in AB\) nên \(B(t,2-t)\ t\in \mathbb{R}\)

Do BC vuông góc với (d): 3x+4y-2=0 nên BC có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(4,-3\right)\) mà B(t,2-t) thuộc BC

\(\Rightarrow\) Phương trình BC là:

\(4(x-t)-3(y-(2-t))=0 \Leftrightarrow 4x-3y+6-7t=0\)

\(\Rightarrow\) Tọa độ C là nghiệm của hệ:

\(\begin{cases} x-y+2=0\\4x-3y+6-7t=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=7t\\y=7t+2 \end{cases}\)

Do D là trung điểm BC nên tọa độ D là:\(D=(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2})=(4t,3t+2)\)

Do \(D\in (d):3x+4y-2=0\) nên \(t=\dfrac{-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) \(B\left(\dfrac{-1}{4},\dfrac{9}{4}\right),C\left(\dfrac{-7}{4},\dfrac{1}{4}\right)\)

Tọa độ C là nghiệm của: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+3=0\\6x-13y+29=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-\dfrac{1}{2};2\right)\)

AB vuông góc đường cao kẻ từ C nên nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB: \(1\left(x-4\right)+2\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow x+2y-16=0\)

Gọi M là trung điểm AB, M là giao điểm AB và trung tuyến từ C:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-16=0\\6x-13y+29=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(6;5\right)\)

M là trung điểm AB nên tọa độ B: \(B\left(8;4\right)\)

ta có pt đường cao kẻ từ B:(d1) x+3y-5=0 
vì AC _|_ (d1) và AC đi qua C(-1; -2) 
=> pt AC: 3(x+1) -(y+2) =0 
<=> 3x -y + 1=0 
ta có A là giao điểm của AC và đg trung tuyến (d2) kẻ từ A 
=> A là nghiệm của hệ: 
{ 5x+y-9=0 
{ 3x -y + 1=0 
<=> 
x=1 ; y=4 
=> A( 1;4) 

Vì B ∈ (d1) => B(5- 3y; y) 
gọi I là trung điểm BC => I ∈ (d2) 
Vì I là trung điểm BC 
=> 
{ 2xI = xB + xC 
{ 2yI = yB + yC 
<=> 
{ xI= (5-3y-1)/2 = (4-3y)/2 
{ yI= (y -2)/2 

Vì I ∈ (d2) 
=> 5(4-3y)/2 + (y -2)/2 -9 =0 
<=> y= 0 
=> B( 5; 0) 
Vậy A( 1;4) và B( 5; 0)

Ta có pt đường cao kẻ từ B: (d1) x+3y-5=0
Vì AC _|_ (d1) và AC đi qua C(-1; -2)
=> pt AC: 3(x+1) -(y+2) =0
<=> 3x -y + 1=0
Ta có A là giao điểm của AC và đường trung tuyến (d2) kẻ từ A
=> A là nghiệm của hệ:
{ 5x+y-9=0
{ 3x -y + 1=0
<=>
x=1 ; y=4
=> A( 1;4)

Vì B ∈ (d1) => B(5- 3y; y)
Gọi I là trung điểm BC => I ∈ (d2)
Vì I là trung điểm BC
=>
{ 2xI = xB + xC
{ 2yI = yB + yC
<=>
{ xI= (5-3y-1)/2 = (4-3y)/2
{ yI= (y -2)/2

Vì I ∈ (d2)
=> 5(4-3y)/2 + (y -2)/2 -9 =0
<=> y= 0
=> B( 5; 0)
Vậy A( 1;4) và B( 5; 0)

Câu 1:

Ta dễ dàng kiểm tra được \(C\notin\left(d_1\right):2x-3y+12=0\) nên hai đường thẳng \(\left(d_1\right),\left(d_2\right)\) không là đường cao và trung tuyến kẻ từ \(C\).

Không mất tính tổng quát giả sử chúng kẻ từ \(A\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\in\left(d_1\right)\\A\in\left(d_2\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_A-3y_A+12=0\\2x_A+3y_A=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=-3\\y_A=2\end{matrix}\right.\Rightarrow A\left(-3;2\right)\)

Gọi trung điểm \(BC\) là \(M\) \(\Rightarrow M\in\left(d_2\right)\) \(\Rightarrow M\left(-\dfrac{3}{2}y;y\right)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{CM}=\left(-\dfrac{3}{2}y-4;y-1\right)\).

VTPT của \(\left(d_1\right)\) là \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)\).

Do \(\left(d_1\right)\) vuông góc \(BC\) nên \(\overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{n}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{3}{2}y-4=2k\\y-1=-3k\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{28}{5}\\k=\dfrac{11}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow M\left(\dfrac{42}{5};-\dfrac{28}{5}\right)\)

\(\Rightarrow B\left(\dfrac{64}{5};-\dfrac{61}{5}\right)\).

Câu 2: 

\(\left\{{}\begin{matrix}B\in d_1\\B\in d_2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\2x+3y-6=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow B\left(-3;4\right)\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\) \(\Rightarrow M\in d_2\Rightarrow M\left(x;2-\dfrac{2}{3}x\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(x-1;1-\dfrac{2}{3}x\right)\)

VTPT của \(d_1\) là \(\overrightarrow{n}=\left(1;1\right)\),

Do \(d_1\) vuông góc \(AC\Rightarrow\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{n}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=k\\1-\dfrac{2}{3}x=k\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{5}\\k=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow M\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{6}{5}\right)\)

\(\Rightarrow C\left(\dfrac{7}{5};\dfrac{7}{5}\right)\).