\(\overrightarrow{n_{\left(\alpha\right)}}=\left(1;2;3\right)\)

\(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(2;4;6\right)\)

\(\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}=\left(2;-4;6\right)\)

\(\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(1;-1;2\right)\)

\(\overrightarrow{n_{\left(S\right)}}=\left(1;-1;2\right)\)

Tích vô hướng của \(\overrightarrow{n_{\left(\alpha\right)}}\) với cả 4 vecto kia đều khác 0 nên ko mặt phẳng nào vuông góc với \(\left(\alpha\right)\)

Bạn coi lại đề bài

(C) : (x - 1)² + (y + 2)² = 9 

Vậy (C) có tâm I (1 ; - 2) và bán kính R = 3

Qua phép đối xứng qua trục Oy, tâm I biến thành I' (- 1 ; - 2)

Phương trình ảnh của (C)

(x + 1)² + (y + 2)² = 9

Câu 1:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;2\right)\) bán kính \(R=2\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)

Do AB luôn vuông góc AM nên đường thẳng AB nhận (1;1) là 1 vtpt

Phương trình AB có dạng: \(x+y+c=0\)

Theo công thức diện tích tam giác:

\(S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}=\frac{1}{2}R^2sin\widehat{AIB}\le\frac{1}{2}R^2\)

\(\Rightarrow S_{max}=\frac{1}{2}R^2\) khi \(\widehat{AIB}=90^0\)

\(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=\frac{R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left|1+2+c\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left|c+3\right|=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-1\\c=-5\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng AB thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x+y-5=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x+y-1=0\Rightarrow y=1-x\)

Thay vào pt đường tròn: \(x^2+\left(1-x\right)^2-2x-4\left(1-x\right)+1=0\)

Giải ra tọa độ A hoặc B (1 cái là đủ) rồi tính được AM

TH2: tương tự.

Bạn tự làm nốt phần còn lại nhé

Câu 1: ko biết điểm I là điểm nào :(

Câu 2:

Đường tròn tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Do M thuộc d nên tọa độ M có dạng \(M\left(m;m-1\right)\)

Tam giác MAB đều \(\Rightarrow\widehat{AMB}=60^0\Rightarrow\widehat{AOB}=120^0\)

Theo định lý hàm cos:

\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2-2OA.OB.cos120^0}=\sqrt{15}\)

\(\Rightarrow AM=AB=\sqrt{15}\)

\(\Rightarrow OM=\sqrt{OA^2+AM^2}=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow m^2+\left(m-1\right)^2=20\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2m-19=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{1+\sqrt{39}}{2}\\m=\frac{1-\sqrt{39}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(\frac{1+\sqrt{39}}{2};\frac{-1+\sqrt{39}}{2}\right)\\M\left(\frac{1-\sqrt{39}}{2};\frac{-1-\sqrt{39}}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Số hơi xấu, bạn kiểm tra lại quá trình tính toán, sợ nhầm lẫn

Câu 3:

Đường tròn tâm \(I\left(1;2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)

Tam giác MBC đều \(\Rightarrow IM\) là trung trực của BC

\(\overrightarrow{MI}=\left(1;3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận \(\left(1;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình BC có dạng \(x+3y+c=0\)

Mặt khác do MBC đều nên I đồng thời là trọng tâm

\(\Rightarrow d\left(I;BC\right)=\frac{1}{2}IM=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

Theo công thức khoảng cách:

\(\frac{\left|1+2.3+c\right|}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow\left|c+7\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-2\\c=-12\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+3y-2=0\\x+3y-12=0\end{matrix}\right.\)

M và I phải nằm cùng phía so với đường thẳng BC nên loại trường hợp \(x+3y-2=0\)

Tọa độ B và C là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-12=0\\x^2+y^2-2x-4y-5=0\end{matrix}\right.\)

Bạn tự giải nốt

Đáp án C

(C) có tâm I(0;2), bán kính 5

Tịnh tiến theo vectơ u →  biến I thành I’(2; 0)

=>Phương trình đường tròn (C’): ( x − 2 ) 2 + y 2 = 25

(C) và (C') cùng đi qua AB nên tâm của (C') nằm trên trung trực AB

Tung độ A, B thỏa mãn:

\(y^2+4y+1=0\Rightarrow\dfrac{y_1+y_2}{2}=-2\)

\(\Rightarrow\) Tâm J của (C') có tọa độ dạng: \(\left(a;-2\right)\)

Gọi P là trung điểm MN \(\Rightarrow JP\perp MN\)

\(JP=\left|y_J\right|=2\Rightarrow R'=JM=\sqrt{MP^2+IP^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)

Phương trình (C') có dạng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y+2\right)^2=13\)

Thay tọa độ \(A\left(0;-2+\sqrt{3}\right)\) vào ta được:

\(a^2+\left(-2+\sqrt{3}+2\right)^2=13\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{10}\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x+\sqrt{10}\right)^2+\left(y+2\right)^2=13\\\left(x-\sqrt{10}\right)^2+\left(y+2\right)^2=13\end{matrix}\right.\)